beweis von injektivität

[kein name]

hallo,
wie kann ich beweisen dass eine funktion injektiv ist? z.b. $f(x)=x^3$.

danke schon mal

[Borschtsch]

Hallo,

wie lautet denn die Definitions-, Lösungsmenge? Ach ja, Stichwort "Umkehrfunktion".

Gruß Borschtsch

[djn adlkfj asöldekf kfi8g]

Stichwort "Widerspruchsbeweis"

[f aodsif alsdkfnsdjp f90d]

Stichwort $x > y \Rightarrow \| f(x) - f(y) \| > 0$
Stichwort $\frac {df}{dx} \neq 0$, bei entsprechenden bedingungen

[Turing]

Um an Dein Beispiel anzuknüpfen...

Du zeigst einfach, dass die Gleichung
$y=x^3$
für jedes y höchstens eine Lösung hat.

Unglaublich aber war...
Die Lösung lautet
$x = y^{1/3}$
und somit ist die Funktion injektiv.

[Jan]

Turing schrieb:

Um an Dein Beispiel anzuknüpfen...

Du zeigst einfach, dass die Gleichung
$y=x^3$
für jedes y höchstens eine Lösung hat.

Unglaublich aber war...
Die Lösung lautet
$x = y^{1/3}$
und somit ist die Funktion injektiv.

Und ganz analog würdest du auch beweisen, dass y = x^2 injektiv ist, oder wie?

[life]

Zu zeigen: $f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$
Sei x,y \in R mit f(x) = f(y). Sei y = x + b für ein b \in R. Dann gilt:

$f(y) = f(x) \Rightarrow y^3 = x^3 \Rightarrow (x+b)^3 = x^3 \Rightarrow x^3+3bx^2+3b^2x+b^3 = x^3 \Rightarrow b(3x^2+3bx+b^2) = 0 \Rightarrow b = 0 \vee 3x^2+3bx+b^2 = 0 \Rightarrow b = 0 \vee b^2+3xb+3x^2 = 0 \Rightarrow b = 0 \vee b = - \frac{3x}{2} \pm \sqrt{\frac{9x^2}{4} - 3x^2} \Rightarrow b = 0 \vee b = - \frac{3x}{2} \pm \sqrt{- \frac{3}{4} x^2} \Rightarrow b = 0$

Also x = y.

[Turing]

Nein auf dieselbe Art beweist man, dass
$f(x) = x^2$
nicht injektiv ist.
Denn angenommen es wäre injektiv, dann hätte die gleich Gleichung
$y=x^2$
stets höchstens eine Lösung, was aber für z.B. bereits für
$1=x^2 \Leftrightarrow x = \pm 1$
nicht erfüllt ist.

[kein name]

ok, danke schön, habs begriffen
hätt ich eigtl. auch selber drauf kommen können :xmas1:

[MamboKurt]

@turing:
jetzt musst du nur noch beweisen, dass x=y^1/3 eindeutig lösbar ist. dann hast du die injektivität gezeigt.

[XFame]

Und fuer negative x :)?

[YASC]

XFame schrieb:

Und fuer negative x :)?

Genauso, Tipp: x wird quadriert

[Turing]

@MamboKurt:
Da hast Du recht, sauber mathematisch müsste man die Eindeutigkeit der Lösung beweisen. Die Frage an der Stelle ist halt, wo man die Grenze setzt und davon ausgeht, dass man es ohne Beweis eben weiß.

@XFame:
Es gibt 3. Wurzeln von negativen Zahlen.

[life]

Turing schrieb:

@MamboKurt:
Da hast Du recht, sauber mathematisch müsste man die Eindeutigkeit der Lösung beweisen. Die Frage an der Stelle ist halt, wo man die Grenze setzt und davon ausgeht, dass man es ohne Beweis eben weiß.

Wenn die Aufgabe ist eben dieses zu beweisen und du machst einfachen ein harken dahinter (vielleicht dazu noch ein "klar"), würde zumindest ich dir 0 Punkte dafür geben

Weiter sollte man das Wort "Umkehrfunktion" zu einer Funktion f erst in den Mund nehmen, wenn man schon gezeigt hat, dass f bijektiv ist..

[XFame]

Turing schrieb:

@XFame:
Es gibt 3. Wurzeln von negativen Zahlen.

Naja, das ist nicht ganz einheitlich. Dass f(x) = x^3 eine Umkehrfunktion besitzt, ist hingegen natuerlich klar.

[Jester]

life schrieb:

Weiter sollte man das Wort "Umkehrfunktion" zu einer Funktion f erst in den Mund nehmen, wenn man schon gezeigt hat, dass f bijektiv ist..

Findest Du? Ich würde die Angabe einer Umkehrfunktion (inklusive Nachrechnen, daß in beiden Richtungen die korrekte Identität rauskommt), nebst evzl. Verweis, daß Existenz von Umkehrfunktion äquivalent zu bijektiv ist auch gelten lassen. Dabei darf man die Funktion gerne auch vorher schon Umkehrfunktion nennen.

[life]

Das ist natürlich auch korrekt (auch wenn ich sie nicht gleich f^{-1} nennen würde, sondern lieber g oder so ;)).

[Jester]

Jo stimmt, direkt f^{-1} würde ich auch nicht hinschreiben.

[PeterTheMaster]

f^{-1} hinschreiben ist kein problem, man solle nur zeigen, dass das auch wirklich eine funktion ist, a priori ist es ja nur eine relation. die surjektivitaet von f verhilft dieser relation zur linksvollstaendigkeit, die injektivitaet zu eindeutigkeit.
auch ist die angabe von definitions- und wertebereich entscheidend, von R_+ nach R_+ ist x^2 bijektiv, auf C ist x^3 es nicht.