Schwerpunkt-Bestimmung

Hallo,

folgendes Problem:

Gegeben sind vier Koordinaten $X=(x,y,z)$ eines dreidimensionalen Hexaeders. Dieses kann beliebig verschert sein und ich möchte allgemeingültig die Koordinate des Schwerpunktes $X\_c=(x\_c,y\_c,z\_c)$ bestimmen.

Hat jemand eine Idee, wo ich für dieses Problem eine gute Anleitung oder Code zum Lernen finde?

Vielen Dank.

Taurin

Wie ist denn die Dichte des Körpers verteilt und welche Form hat er genau? Unter einem Hexaeder verstehe ich eigentlich ein gewöhnlichen Würfel und nix anderes...

Vier Punkte ergeben für gewöhnlich einen Tetraeder.

Allgemein gilt für den Schwerpunkt s:
$\vec s = \frac{1}{M}\int_V \vec r \rho(\vec r)dV$
Für homogene Massendichte kann man
$\vec s = \frac{\rho}{M}\int_V \vec r dV$
schreiben.

Ein Volumenintegral über ein beliebiges Tetraeder ist nicht ganz einfach. Aber mit einigen geometrischen Überlegungen sollte es möglich sein, wenn auch relativ aufwendig, wie ich befürchte.

Phil270307

1. Der Körper ist homogen.

2. Ich spreche von einem Hexaeder - meinte aber 8 Eckkoordinaten!
Wo könnte ich ggf. eine entsprechende Doku finden?
Habe beim googlen nichts passendes gefunden...

Andrey

Was du meinst, ist imho ich ein "Spat" (oder genau gesagt "Parallelepiped"), das ist ziemlich alles, was man durch affine abbildungen aus einem würfel machen kann (=würfel beliebig gestreckt und geschert)
http://de.wikipedia.org/wiki/Parallelepiped
falls das, was du meinst, in etwa so aussieht, dann liegt dein schwerpunkt genau in der mitte von diesem ding:

(wenn man sich an die bezeichnungen aus wikipedia hält:)
schwerpkt = stützvektor+ 1/2 * (a+b+c)        [alles vektoren]

mit "stützvektor" meine ich jetzt die ecke, aus der die vektoren a,b und c ausgehen.

hoffentlich hilfts was...

edit: fragt mich aber bitte nicht, wie man das trägheitsdrehmoment von dem ding berechnet

Phil270307

Nein - leider muss ich da widersprechen.

Es handelt sich gerade nicht um ein Parallelepiped - demnach kann die hintere Fläche, die in der Abbildung auf der Wikipedia-Seite zu sehen ist (http://de.wikipedia.org/wiki/Parallelepiped), anders verschert sein als die Front. Deswegen ist es so schwierig!!

Danke - trotzdem für den Vorschlag....

Phil270307

Außerdem müssen die Seiten einer Fläche _NICHT_ parallel sein.

Andrey

wenn das ding wirklich dermaßen beliebig verschert und verdreht und an keiner stelle parallel ist, dann reichen die vier koordinaten zur beschreibung des körpers definitiv nicht aus. (beim parallelepiped lassen sich die anderen vier von insgesamt acht ja recht leicht berechnen)

Außerdem wünsche ich wirklich viel spaß, wenn du die exakte matemathische formel für den schwerpunkt brauchst Bei so einem krummen teil würde ich lieber aufhören, kilometerlange formel mit bleistift auf papier zu kritzeln: stattdessen hockt man sich lieber an den rechner, unterteilt das ding sagen wir mal in 10000 massenpunkte, die in etwa homogen im von dem körper begrenzten raum verteilt sind, und berechnet eine näherung. Diese vorgehensweise ist imho auch nützlicher, und lässt sich auf andere ähnliche problemstellungen übertragen...

ps: vielleicht ist es aber auch exakt lösbar, nur ich komme im moment wirklich nicht drauf = wie?

good luck have fun

Phil270307

Es sind auch nicht nur 4, sondern alle 8 Eckkoordinaten (jeweils ein Trippel aus X,Y,Z) bekannt.

Ich sehe nicht wo der Vorteil besteht, wenn Du das Volumen mit kleineren näherst. Die Schleife müsste wieder an die Kontur angepasst sein --> gleiches Problem in grün.

Außerdem muss ich diese Berechnung für ca. 1.000.0000 kleine Hexaeder durchführen --> eine Näherung mit kleinen KVs würde zuuuu lange dauern

Phil270307

Das KV lässt sich nach meiner Auffassung in 8 Tetraeder aufteilen - von einem Tetraeder lässt sich der Schwerpunkt recht leicht und exakt bestimmen - ich habe es aber noch nicht geschafft,diesen Vorgang in einen allgemeinen Algorithmus zu überführen.

Andrey

Außerdem muss ich diese Berechnung für ca. 1.000.0000 kleine Hexaeder durchführen

nein, sowas habe ich eigentlich nicht gemeint...
Was ich gemeint habe war:

Mal angenommen, du hast einen raum, in dem sich viele sehr dichte kleine kugel befinden (masse bekannt, größe vernachlässigbar klein). Diese kugeln sind mit masselosen fäden aneinander gebunden=> können ihre relative position zueinander nicht ändern.

Bei dieser anordnung ist es doch recht einfach, den schwerpunkt dieser ganzen kugelmenge zu bestimmen (sowas wie lineare regression, nur in drei raumrichtungen: summe der quadrate der abstände vom Mittelpunkt zu den kugeln soll minimal sein, oder so ähnlich, wenn ich jetzt nicht total spinne [nicht ausgeschlossen , muss genauer drüber nachdenken... ])

Ich habe jetzt einfach vorgeschlagen, diesen raumfüllenden "hexaeder" der masse M (der ja aus unendlich vielen massenpunkten besteht) etwas zu vereinfachen, und ihn durch n-Massenpunkte mit der masse m=M/n darzustellen. Danach berechnet man einfach den schwerpunkt dieser n Punkte, und hat somit eine ganz gute näherung (je größer das n, desto besser)

Andrey

..in 8 tetraeder aufteilen? hm... und dann? Mittelwert aus den schwerpunkten von 8 tetraedern bilden oder was hast du damit vor? Weiß nicht genau, irgendwie kann ich mit diesem vorschlag wenig anfangen, könntest du bitte genauer erläutern, was du damit vorhast?

megaweber

kann man da nicht mit baryzentrischen koordinaten arbeiten?

$R = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}x_i$

für einen polyeder mit n eckpunkten x_i.