[Produktreihe] Grenzwert
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Hallo.
Für ein Statistik Übungsbeispiel muss ich nachweisen, dass die folgende Reihe gegen 0 konvergiert:
\prod_{n=1}^{\infty}{\frac{e^{-(n+1)}}{1-e^{-1}}Leider kenn ich mich bei der Konvergenzbestimmung von diesen Reihen nicht aus.
Kann mir jemand bitte erklären warum das gegen 0 geht und wo ich etwas über diese Reihen lesen kann?
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Eigentlich steht da doch: \prod_{n=1}^{\infty}{\frac{1}{c\cdot e^{n+1}}
Siehst Du es jetzt?
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Nachdem ich absolut keine Ahnung von der Theorie der Produktreihen habe, sehe ich gar nichts.
Aber ich vermute mal, dass der GW 0 wird wenn die Folge der Reihenglieder eine monotone Nullfolge ist.
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Ganz ehrlich: Die Kriterien für Reihenkonvergenz beherrsche ich auch nicht (mehr).
Aber es offensichtlich gilt doch: \prod_{n=1}^{k}{\frac{1}{c\cdot e^{n+1}}=\frac{1}{c^k\cdot e^{0.5(k+1)(k+2)}}
Der Grenzwert dafür ist sicherlich 0.edit: Jetzt stimmts hoffentlich
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Da gehört aber eine Summe und keine Fakultät hin
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und c<1 !
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Wegen
folgt ganz einfach
\prod_{n=1}^N \frac{1}{ce^{n+1}} \le \frac{1}{ce^{N+1}} \longrightarrow 0 \;\;{\mathrm f\"ur }N\to\infty.
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Danke, das klingt schlüssig.