definition von mannigfaltigkeit
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hallo, wie ist eigentlich die formale definition von mannigfaltigkeit? ich les irgendwie immer nur, dass es ein topologischer raum sein, der lokal wie nen IR^n aussieht, aber in wirklichkeit ungleich n sein kann. aber das kann doch nicht die mathematisch korrekte definition sein....
ist demnach nicht eigtl. jeder raum ne mannigfaltigkeit?irgendwie werd ich nciht so recht schlau aus den sachen, die ich so im inet finde..
danke schon mal
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Im Prinzip ist das schon die Definition. Etwas präziser: X ist n-dimensionale Mannigfaltigkeit, wenn für jedes x in X eine offene Umgebung U und ein Homöomorphismus von U zu einem offenen Teil von R^n existiert.
Aber eigentlich sagt das nix anderes aus, als dass die Mannigfaltigkeit lokal wie ein Stück R^n aussieht.
Ein Beispiel für was nicht mannigfaltiges kriegst Du, indem Du beispielsweise drei Kopien des Einheitsintervall nimmst und die im Punkt 0 miteinander verklebst. Keine Umgebung um den 0-Punkt sieht aus wie ein offenes Stück von R.
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Oft wird noch zusätzlich gefordert, dass eine Mannigfaltigkeit hausdorffsch ist und das 2. Abzählbarkeitsaxiom (abzählbare basis der topologie) erfüllt.
Üblicherweise muss auch n für jeden Punkt gleich sein.
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asmodis schrieb:
Üblicherweise muss auch n für jeden Punkt gleich sein.
das fordert jesters definition auch.
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jucks schrieb:
asmodis schrieb:
Üblicherweise muss auch n für jeden Punkt gleich sein.
das fordert jesters definition auch.
stimmt, hab ich ueberlesen.