Wohlordnungsprinzip? Erscheint mir wenig sinnvoll!

Jester

Das ist schon ne ziemlich wichtige Technik. Nimm an, Du willst zeigen irgendeine Aussage zeigen. Dann hilft es oft, mal die Menge aller Gegenbeispiele zu betrachten. Wenn diese Menge wohlgeordnet ist, dann hat man auch ein "kleinstes" Gegenbeispiel. Und nun kann man versuchen dieses kleinste Gegenbeispiel zum Widerspruch zu führen (zum Beispiel zeigen, dass man es in zwei noch kleinere Gegenbeispiele zerlegen könnte).

Was wäre das kleinste Element in dieser Teilmenge:

M = { 2 };

fertig! Die Menge ist nicht-leer. Und sie enthält nur ein einziges Element.
Nichts hält mich davon ab, zu behaupten, '2' ist das kleinste Element.
Ebensogut kann man auch sagen, '2' ist das größte Element.
Wenn ich aber unter 'klein' eine Relation oder gar eine Ordnungsrelation verstehen soll, dann ist nicht entscheidbar, ob diese Relation auf '2' überhaupt zutrifft.
Mangels weiterer Elemente in dieser Menge ist die Relation 'klein' nicht transitiv, bzw. es ist nicht entscheidbar. Und auch nicht antisymmetrisch, aus dem gleichen Grund. Eine Ordnungsrelation kann 'klein' also nicht sein!
Es ist überhaupt nicht selbstverständlich, dass die Elemente einer Teilmenge in irgend einer Beziehung zu den Elementen in einer allenfalls vorhandenen Obermenge stehen können sollen.

Wenn ich z.B. beweisen möchte, dass das Quadrat einer Geraden Zahl wiederum eine Gerade Zahl ist, wie ginge ich dann unter Anwendung des Wohlordnungssatzes vor?

Thx für die Tipps bisher!

Christoph

zfcGepeinigt schrieb:

Wenn ich z.B. beweisen möchte, dass das Quadrat einer Geraden Zahl wiederum eine Gerade Zahl ist, wie ginge ich dann unter Anwendung des Wohlordnungssatzes vor?

Für 0 gilt die Aussage.

Du definierst dir die Menge der geraden Zahlen, deren Quadrat keine gerade Zahl ist. Diese Menge hat nach dem Wohlordnungssatz ein kleinstes Element. Sei x dieses Element. x ist also eine gerade Zahl, für die x^2 nicht gerade ist. Wenn aber x gerade ist (und größer als 0), ist x-2 ebenfalls gerade. Weil x-2 < x ist, muss das Quadrat von x-2 gerade sein (sonst wäre x nicht das kleinste Element): Das Quadrat ist x^2 - 4x + 4. Damit das gerade ist, muss aber x^2 gerade sein. Das ist ein Widerspruch zur Annahme, dass x^2 ungerade ist. Also ist das Quadrat jeder geraden Zahl gerade.

besten Dank für die Erklärung! Jetzt ist mir klar, was das 'kleinste Element' mit der Induktion zu tun hat!

CStoll

zfcGepeinigt schrieb:

Was wäre das kleinste Element in dieser Teilmenge:

M = { 2 };

Das kleinste Element einer Menge ist das Element x el M, für das es kein y el M mit y<x gibt (salopp ausgedrückt) - wenn du das nicht eindeutig angeben kannst, hast du kein kleinstes Element (z.B. in der Menge {x el Z, x<0} oder in ]0,1]. Aber in deiner Menge M ist die 2 sowohl größtes als auch kleinstes Element.

Btw, die Relation < auf dieser Menge ist leer und damit automatisch transitiv und auch antisymmetrisch (du hast keine Elemente, die die Vorbedingungen erfüllen, also brauchst du auch nichts weiter prüfen ;)).

Was ist eigentlich eine Menge?
Ich meine, in eine Menge sollte man alles 'reinstecken' dürfen, nur bloß keine Zahlen! Die Zahlen sind ja ihrerseits bereits Mengen! D.h. sofern man unter 'Menge' einen Begriff verstehen möchte, der auf einen Sachverhalt (bzw. auf unendlich viele Sachverhalte), in irgendeiner Weise zutrifft bzw. nicht zutrifft. D.h. auf irgend eine Ansammlung aus drei nicht näher interessierenden Objekten trifft beispielsweise der Begriff 'drei' zu.

Drei Schafe, drei Bücher, drei Zentimeter, kurzum, drei Objekte sind Element der Menge 'drei'. Nicht die Objekte selbst, aber die Tatsache, dass es drei sind. 'Drei' wäre demnach eine Menge, von der nicht einmal bekannt ist, wieviele Elemente sie eigentlich enthält, es gibt ja durchaus sehr viele Sachverhalte, in denen irgend ein Ding genau DREI mal vorhanden ist (d.h. dieser 'Sachverhalt, dass x drei mal vorhanden ist' wäre ein weiteres Element der Menge (des Begriffes) 'Drei'.
Wenn man eine Natürliche Zahl also als Menge/Begriff versteht, könnte man doch mit Fug und Recht behaupten, dass die Mächtigkeit jeder einzelnen Natürlichen Zahl bereits unendlich groß sein dürfte. Jedenfalls ist naheliegend, dass es unbegrenzt viele Zusammenfassungen von Objekten gibt, die unter den Begriff 'drei' fallen, also Element von '3' sind.

Was mich an der Mengenlehre nachhaltig irritiert, ist dass sie einerseits mithilfe von Zahlenbegriffen Aussagen und Definitionen zu Mengen im Allgemeinen erfindet (d.h. die Zahlen müssen ja irgendwie schon vorher da gewesen sein!), und schließlich aufgrund dieser Aussagen und Definitionen die Zahlen zu erfinden versucht.

Geht's da nur mir so?

Jester

zfcGepeinigt schrieb:

Was ist eigentlich eine Menge?
Ich meine, in eine Menge sollte man alles 'reinstecken' dürfen, nur bloß keine Zahlen! Die Zahlen sind ja ihrerseits bereits Mengen!

Was ist an Mengen, die andere Mengen enthalten so schlimm?

Es sollte sich bei den Elementen ja um bestimmte Objekte handeln.
Eine Menge, wie z.B. die nat. Zahl '3', ist allerdings kein bestimmtes Objekt, es ist ja nicht einmal klar, wieviele (ob endlich oder unendlich) viele Elemente diese Menge enthält. Womit die Menge '3' zu einem doch offenbar ein unbestimmtes Objekt wäre, also auch nicht als Element einer Menge in Frage käme. Allerdings nur so lange, als nicht bestimmt ist, welche und wieviele bestimmte Objekte diese Menge '3' enthält. Sollte es einmal glücken, so wäre die Menge '3' kein unbestimmtes Objekt mehr, und käme demnach wieder als Element einer Menge, die '3' enthält, in Frage.
Vielleicht ist auch nur die Definition der Menge von Herrn Cantor unbefriedigend. Aber zumindest enthält sie die Festlegung, dass ein Objekt bestimmt sein müsse, um überhaupt als Element einer Menge in Frage zu kommen. Der Zahlbegriff '3' ist nicht näher bestimmt. IMO. Auch wenn trivialer Weise in der Wirklichkeit 'automatisch' klar ist, ob der Begriff '3' auf eine Ansammlung von Dingen angewendet werden kann oder nicht, d.h. ob ein Sachverhalt der Anschauung Element der Menge '3' ist, oder nicht.
Vielleicht ist es aber auch gar nicht möglich, eine Mengenlehre zu erfinden, ohne zuvor die Existenz der natürlichen Zahlen als Tatsache vorauszusetzen.
In diesem Fall finde ich es aber gewagt, anhand der Mengenlehre die 'Menge der Natürlichen Zahlen' definieren zu wollen. Oder zumindest sehr verdächtig.
mfg

virtuell Realisticer

zfcGepeinigt schrieb:

Es sollte sich bei den Elementen ja um bestimmte Objekte handeln.
Eine Menge, wie z.B. die nat. Zahl '3', ist allerdings kein bestimmtes Objekt, es ist ja nicht einmal klar, wieviele (ob endlich oder unendlich) viele Elemente diese Menge enthält. Womit die Menge '3' zu einem doch offenbar ein unbestimmtes Objekt wäre, also auch nicht als Element einer Menge in Frage käme.

'3' ist aber auch keine Menge. Es ist aber 3 \in |N. Und das kannst du mit
Sicherheit sagen, denn 3 ist ein Nachfolger von 2, was wiederum ein Nachfolger
von 1 ist, welches kleinstes Element \in |N ist.

Allerdings nur so lange, als nicht bestimmt ist, welche und wieviele bestimmte Objekte diese Menge '3' enthält. Sollte es einmal glücken, so wäre die Menge '3' kein unbestimmtes Objekt mehr, und käme demnach wieder als Element einer Menge, die '3' enthält, in Frage.
Vielleicht ist auch nur die Definition der Menge von Herrn Cantor unbefriedigend. Aber zumindest enthält sie die Festlegung, dass ein Objekt bestimmt sein müsse, um überhaupt als Element einer Menge in Frage zu kommen. Der Zahlbegriff '3' ist nicht näher bestimmt. IMO. Auch wenn trivialer Weise in der Wirklichkeit 'automatisch' klar ist, ob der Begriff '3' auf eine Ansammlung von Dingen angewendet werden kann oder nicht, d.h. ob ein Sachverhalt der Anschauung Element der Menge '3' ist, oder nicht.
Vielleicht ist es aber auch gar nicht möglich, eine Mengenlehre zu erfinden, ohne zuvor die Existenz der natürlichen Zahlen als Tatsache vorauszusetzen.
In diesem Fall finde ich es aber gewagt, anhand der Mengenlehre die 'Menge der Natürlichen Zahlen' definieren zu wollen. Oder zumindest sehr verdächtig.
mfg

Aber die Zahl '3' ist durch die Axiome doch wohlbestimmt. Sie ist ein Nachfolger
der Zahl '2' und sie ist der Vorgaenger der Zahl '4'.

Du sprichst manchmal von der Zahl '3' und von der Menge '3'. Das sind aber doch
unterschiedliche paar Schuhe.

gruss
v R

Jester

Man kann die natürlichen Zahlen auch anders definieren. Dann sind natürliche Zahlen tatsächlich besimmte Mengen.

@op: bilde doch einfach nebenklassen modulo bijektionen. Dann gibt's nur noch eine Menge mit 3 Elementen.