4. Kreis aus Menge von Punkten approximieren

Kreis aus Menge von Punkten approximieren

  • P

    Siehe Topic
    Ich weis nicht so genau, wie ich da am besten rangehen soll.
    MKQ kenn ich, aber irgendwie passt das hier nicht so wirklich.
    Wäre für Tipps/Lösungsvorschläge sehr dankbar

    MfG Pellaeon

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  • C

    Kannst du das auch in ganzen Sätzen erklären? Danke.

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  • P

    ich habe n Punkte und will da einen Kreis reinlegen, benötige also Mittepunkt und Radius.
    Ziel ist es, das der Kreis bestmöglich in die Punkte "reinpasst", also das die Abstände der Punkte zum Kreis minimal werden
    (später wirds dan wahrscheinlich sogar ne Kugel)

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  • J

    Standardvorgehen: Quadratischen Abstand minimieren. Stelle ein Fehlerfunktional auf:

    (x,y) ist der Mittelpunkt des Kreises und r der Radius, (x_i,y_i) sind die Beispielpunkte

    J(x,y,r) = Summe über alle Beispielpunkte (||(x_i,y_i)||-r)^2

    Das nach x,y und r ableiten und die Ableitungen auf 0 setzen. Kann sein, dass Du am Fehlerfunktional noch ein bißchen was rumfummeln kannst um die Wurzeln loszuwerden, dann läßt sich's besser lösen.

    MfG Jester

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  • .

    Ich hab jetzt nicht länger drüber nachgedacht, aber irgendwie schreit dieses Problem geradezu nach Polarkoordinaten.

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  • P

    .filmor schrieb:

    Ich hab jetzt nicht länger drüber nachgedacht, aber irgendwie schreit dieses Problem geradezu nach Polarkoordinaten.

    Jo werde das bestimmt dann in einer Parameterdarstellung nutzen, aber Ausgangslage ist erstmal eine Menge von (x,y)-Punkten.

    @jester: danke für den Hinweis, werd ich morgen mal durchrechnen, heut hab ich keine Lust mehr^^

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  • P

    wenn ich (x-x_i)² + (y-y_i)² - r² anstatt der Wurzel und dem einfachen Radius betrachte, dann dürfte sich doch an der Tendenz nichts ändern oder?

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  • J

    An der Tendenz nicht. Du minimierst dann halt ein leicht anderes Kriterium. Große Distanzen werden stärker gewichtet. Kleine Distanzen werden durch das Quadrieren noch kleiner und fallen daher weniger ins Gewicht.

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  • P

    Ok ich habe das jetzt doch etwas anders gemacht
    x² + y² + 2ax + 2by + c = 0
    a = -x_m
    b = -y_m
    c = x_m² + y_m² - r²

    aus der ersten Formel:
    **c = -(x² + y² + 2ax + 2by)

    J(a,b,c) = sum(-x² - y² - 2xa - 2xb - c)²**

    Hab ich in nem Formelbuch gefunden. Das ist eine andere Darstellunge des Kreises.
    Dort gehen die Parameter a,b und c linear ein, also kommt dann mit der MKQ auch ein schönes LGS raus. Ergebnisse sehen bisher auch ganz gut aus.
    Also falls wer dasselbe Prob hat, sollte er von der oben Formel ausgehen

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