Magnetfelder::Geschwindigkeit von Elektronen im Kern

Winn

Hallo zusammen,

ich beschäftige mich zur Zeit mit Magnetfeldern und bin dabei über die sogenannte Lorentz-Transformation gestolpert, jene besagt, daß das elektrische Feld einer ruhenden Ladung in einem bewegten System ein magnetisches Feld erzeugt ( $\vec{B}=\vec{v}x\vec{E}$ ).

Nun frage ich mich natürlich, ob die Geschwindigkeit von Elektronen in einem Atom bestimmter Stoffe so hoch ist, daß sich damit ein Permanentmagnet erklären läßt ?! Und ob auch schon kleine Geschwindigkeiten ( < 1 m/s ), wie z.B. die Elektronen in leitenden Materialien besitzen, ausreichen, um das Durchflutungsgesetz von Maxwell auf atomarer Ebene zu erklären ?
$\oint \vec{H}\vec{ds}=\iint \vec{J}\vec{n}dA$

Freue mich auf die Anregungen

Winn

P.S.: Mein LaTeX funktioniert irgendwie nicht... bei Zitierung wird der Code angezeigt... sonst aber nix...

Christoph

Winn schrieb:

P.S.: Mein LaTeX funktioniert irgendwie nicht... bei Zitierung wird der Code angezeigt... sonst aber nix...

Das LaTeX-Rendering ist zur Zeit leider defekt, du wirst die Formeln als Text schreiben müssen (oder rohen LaTeX-Code).

doppelmuffe

Winn schrieb:

Nun frage ich mich natürlich, ob die Geschwindigkeit von Elektronen in einem Atom bestimmter Stoffe so hoch ist, daß sich damit ein Permanentmagnet erklären läßt ?! Und ob auch schon kleine Geschwindigkeiten ( < 1 m/s ), wie z.B. die Elektronen in leitenden Materialien besitzen, ausreichen, um das Durchflutungsgesetz von Maxwell auf atomarer Ebene zu erklären ?

kurz gesagt: das tun sie, sonst müsste man die maxwell-gleichungen wegschmeißen

der trick ist: nicht die geschwindigkeit ist hoch, sondern die coulombkraft sehr stark. wenn du dir jetzt einen leiter anschaust, dann fließen da elektronen in eine richtung, und der rest des drahtes (atomrümpfe etc.) ist positiv, so dass der draht insgesamt elektrisch neutral ist. im bewegten system das sich parallel zum draht in richtung der elektronen (und der einfachheit halber mit derselben geschwindigkeit) bewegt, muss man die relativistische kontraktion beachten: die elektronen sind relativ zum bewegten system in ruhe; die positiven atomrümpfe bewegen sich, aus der längenkontraktion ergibt sich, dass der abstand zwischen ihnen kleiner ist. es gibt also pro längenabschnitt einen überschuss an positiven ladungen. der ist zwar minimal, da die geschwindigkeit auch sehr klein ist ( gamma = 1 + 5*10^(-18) für v = 1 m/s), da aber pro teilchen eine große kraft ausgeübt wird, kommt eine messbare kraft heraus.

Winn

Hmm, überzeugt mich noch nicht ganz...

Mir geht es in erster Linie ja um Magnetfelder, deren Feldlinien immer geschlossen sind oder weil es halt keine Monopole gibt.

Ein ruhendes Elektron hat die elektrische Feldstärke E, ein gleichförmig bewegtes Elektron besitzt nun aber nach der Lorentz-Transformation noch eine magnetische Flussdichte B = ((Beta x E)/Lichgeschwindigkeit) mit Beta=(tatsächliche Geschwindigkeit/Lichtgeschwindigkeit), d.h. für mich es kann niemals magnetische Monopole geben, weil der Ursprung der magnetische Kraft ein bewegtes Elektron ist ^^

Kommen wir zur Coloumb-Kraft - Kreisende Elektronen um einen Atomkern werden aufgrund der Coloumb-Kraft angezogen, damit sie nicht mit dem Kern kollabieren, so benötigen sie eine Fluchtgeschwindigkeit um quasi auf Bahn zu bleiben (ganz wie Satelliten um die Erde). Wie groß ist nun die Fluchtgeschwindigkeit und ist sie so hoch, daß "im Kern" relativistisch gerechnet werden müßte ? Nimmt man nun einen Permanentmagnet, haben sein umkreisende Elektronen eine besonders hohe Geschwindigkeiten als bei nicht-magnetische Stoffe ?

Kommen wir zum Durchflutungsgesetz - Nach dem Gesetz erzeugt jeder Strom auch ein Magnetfeld... okay... aber warum ? Die Geschwindigkeit der Elektronen ist derart klein, daß ich als Fussgänger sogar schneller wäre... Nach der obigen Gleichung hätte ich natürlich immer noch ein Magnetfeld, reicht diese Geschwindigkeit aber aus ?

doppelmuffe

Kommen wir zum Durchflutungsgesetz - Nach dem Gesetz erzeugt jeder Strom auch ein Magnetfeld... okay... aber warum ? Die Geschwindigkeit der Elektronen ist derart klein, daß ich als Fussgänger sogar schneller wäre... Nach der obigen Gleichung hätte ich natürlich immer noch ein Magnetfeld, reicht diese Geschwindigkeit aber aus ?

naja, du kannst ja mal ein bespiel durchrechnen, und dich überzeugen, dass wirklich dasselbe rauskommt.

nehmen wir an, durch einen leiter fließt ein strom I mit der geschwindigkeit v und daneben fliegt ein teilchen (ladung q) mit derselben geschwindigkeit v.

in unserem laborsystem gibt es ein magnetfeld

B = mu_0 I / (2 pi)

und kein elektrisches feld.
auf das teilchen wirkt die kraft

F = q * v * B = q v mu_0 I / 2pi

im teilchen-system ruht das teilchen, es wirkt also keine lorentzkraft. dafür sieht für das teilchen der draht (der in unserem system elektrisch neutral ist) geladen aus. die ladungsträger (sagen wir, elektronen) sind in unserem system lorentzkontrahiert, für das teilchen sind sie also um den faktor

gamma

weiter auseinander.
die ruhenden ladungen in unserem system sind im teilchensystem bewegt, also um

gamma^-1

näher aneinander.
wenn wir jetzt die linearen ladungsdichten (ladung pro länge, lambda = dQ/dl), dann folgt für das teilchensystem

lambda_t = gamma*lambda - gamma^-1*lambda =(näherung) beta^2 * lambda (*)

wobei das lambda auf der rechten seite die ladungsdichte in unserem system ist.
mit dem strom und der geschwindigkeit

I = dQ/dt , v = ds/dt

können wir in bester manier das dt kürzen und erhalten

lambda = dQ/ds = I/v

eingesetzt in (*) gibt das

lambda_t = v^2/c^2 * I/v = v/c^2*I (**)

für das teilchen sieht es so aus, als wäre der draht mit dieser ladungsdichte lambda_t geladen.

wenn du jetzt das elektrische feld eines geladenen drahts

E = lambda / (2 pi epsilon_0 )

nimmst, erhälst du für die kraft

F = q E = q lambda_t / (2 pi epsilon_0 ) =(**) q v / c^2 * I / (2 pi epsilon_0)

wunderbarerweise sind diese beiden kräfte gleich, die relativistische rechnung mit der kontraktion passt also. der ladungsdichtenunterschied ist zwar winzig, reicht aber aus, um die kraft zu erklären, weil die coulombkraft so stark ist.

Kommen wir zur Coloumb-Kraft - Kreisende Elektronen um einen Atomkern werden aufgrund der Coloumb-Kraft angezogen, damit sie nicht mit dem Kern kollabieren, so benötigen sie eine Fluchtgeschwindigkeit um quasi auf Bahn zu bleiben (ganz wie Satelliten um die Erde). Wie groß ist nun die Fluchtgeschwindigkeit und ist sie so hoch, daß "im Kern" relativistisch gerechnet werden müßte ?

genaugenommen stimmt dieses bild nicht, und "klassische" elektronen würden auch mit rotation in den kern fallen. wenn man das aber so rechnet, wie du vorschlägst, kommt fast das richtige ergebnis raus: http://de.wikipedia.org/wiki/Einstein-de-Haas-Effekt (letzter absatz)
die geschwindigkeit kannst du einfach mit coulombkraft = zentripetalkraft ausrechnen (radius = 10^-10 meter), dann kommt vielleicht beta = 1/1000 raus. aber das ist nicht der punkt, sondern dass die relativistische rechnung selbst bei kleinen geschwindigkeiten angebracht ist.

Nimmt man nun einen Permanentmagnet, haben sein umkreisende Elektronen eine besonders hohe Geschwindigkeiten als bei nicht-magnetische Stoffe ?

bei magneten geht es mehr darum, in welche richtung die ganzen elektronen rotieren. wenn sie alle gleich sind, dann gibts nen starken magneten. bei schwachen zeigen die drehimpulse in alle möglichen richtungen

Jetzt haste mich

Und wuerde es nur um die Feldneutralitaet des Leiters ergaenzen. Wenn nun die Ladungsverteilung derart gestaltet ist, dass ich ein negatives Elektron und ein positiven Atomrumpf habe, kann ich ihn als einen elektrischen Dipol interpretieren, der eine Fernwirkung von 1/r^2 hat. Jetzt habe ich in einem stromdurchflossenen Leiter allerdings wesentlich mehr negative Elektronen und positive Atomruempfe und schon bei einem Quadrupol habe ich schon eine Fernwirkung von 1/r^4, d.h. bei einem n-Pol ist die Potenz in der Fernwirkung der Garant dafuer, dass "kein" elektrisches Feld ausserhalb des Leiters vorliegt...