4. Rätsel zur Wahrscheinlichkeitsberechnung

Rätsel zur Wahrscheinlichkeitsberechnung


  • Also mittlerweile glaube ich ja auch, das die 2/3 Antwort ueberhaupt nur verbreitet werden konnte, weil es immer wieder _solche_ Argumentationen fuer die richtige Loesung gab... f'`8k

    Gruß, TGGC (making great games since 1992)

    0

  • Naja, ich schreibe es einfach mal kommentarlos hier her.

    Sehr geehrter Herr Rösch,
    ich gehe nach wie vor davon aus, dass die Lösung im Netz korrekt ist.
    Ich werde in Ihrer Mail auf die Stellen eingehen, wo ich anderer
    Meinung bin.

    Am 06.05.2007 um 19:43 schrieb Christian Rösch:

    > Sehr geehrter Herr Begoihn,

    > ich bin auf folgendes Raetsel inklusive Loesung gestossen:
    > http://stabi.hs-bremerhaven.de/mathezirkel/lsg_feb07.html

    > Dem Loesungsweg muss ich widersprechen. Durchaus korrekt ist die
    > Aussage:
    > "Sobald Dorothea weiß, dass eines der Kinder ein Junge ist, beträgt
    > die
    > Wahrscheinlichkeit, dass das andere ein Mächen ist, 0,667 (zwei
    > Drittel).".
    > Oder um es mathematisch praeziser zu formulieren: "Sobald Dorothea
    > weiß,
    > dass mindestens eines der Kinder...". Unter diesen Voraussetzungen
    > waere die
    > Rechnung korrekt.
    Hier sehe ich nicht, wo der Unterschied der Voraussetzung "Sobald
    Dorothea weiß, dass mindestens eines der Kinder ein Junge ist,
    beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass das andere Kind ein Mädchen ist,
    0,667" zu der im Aufgabentext umrissenen Voraussetzung besteht. Indem
    Dorothea nur sieht, dass es sich beim Kind am Fenster um einen Jungen
    handelt, weiß Dorothea nämlich nur, dass mindestens eines der Kinder
    ein Junge ist. Sie weiß nämlich nicht, ob es sich bei diesem Kind um
    das ältere oder das jüngere handelt.

    > Nun entspricht das allerdings nicht ganz der Aufgabenstellung.
    > Dorothea
    > kennt naemlich das Geschlecht eines bestimmten Kindes ("das Kind am
    > Fenster") und es muesste dann der Loesungsweg aus dem dritten Teil der
    > Aufgabe angewendet werden. Der Unterschied ist lediglich, das die
    > Notation
    > nicht in der Reihenfolge (aelteres Kind;juengeres Kind) erfolgt,
    > sondern
    > (Kind am Fenster; anderes Kind). Somit erhaelt man die korrekte
    > Loesung von
    > 0,5.
    Der Unterschied in der Notation ist wesentlich, was man daran
    erkennt, dass ein Wechsel der Notation zu anderen Ergebnissen führt.

    > Der konkrete Fehler des benuzten Rechenwegs liegt in der Annahme,
    > das die 3
    > Faelle in {(J;J), (J;M), (M;J)} gleich wahrscheinlich waeren. (J;J)
    > ist
    > besitzt tatsaechlich die doppelt Wahrscheinlichkeit, wie die beiden
    > anderen
    > Faelle fuer sich. Man muss davon ausgehen, das ein zufaellig
    > gewaehltes Kind
    > am Fenster steht und darum wird dies bei Familien mit zwei Jungen
    > hauefiger
    > zu beobachten sein, als in denen, wo lediglich das aeltere Kind ein
    > Junge
    > ist.
    Die den Elementen zugeschriebene Wahrscheinlichkeit geht von der
    Frage aus, wie wahrscheinlich es ist, dass eine Familie mit zwei
    Kindern zwei Jungen hat. Es ist sozusagen eine
    bevölkerungsstatistische Aussage, die völlig unabhängig von
    irgendwelchen Erscheinungen an irgendwelchen Fenstern ist. Um an
    dieser Stelle schon die 6000 Familien ins Spiel zu bringen: Bei 1500
    von ihnen sind beide Kinder Jungen, bei 1500 beide Mädchen, bei 1500
    ist das ältere Kind ein Mädchen, das jüngere ein Junge, bei den
    restlichen 1500 ist es umgekehrt. Indem man weiß, dass mindestens ein
    Junge dabei ist, müssen die 1500 Familien mit zwei Mädchen aus der
    Betrachtung genommen werden. Die übrigen Gruppen bleiben aber genauso
    groß (immer 1500 Familien), sind also auch gleich wahrscheinlich. Die
    Gesamtheit hat aber um die Familien mit zwei Mädchen abgenommen, so
    dass man die 3000 (Zahl der Familien mit einem Mädchen) durch 4500
    (Zahl der Familien mit mindestens einem Jungen) teilen muss, um zur
    richtigen relativen Häufigkeit zu kommen.

    > Man sollte eigentlich bereits stutzig werden, wenn allein aus der
    > fuer das
    > Geschlecht nutzlosen Information ueber das Alter der Geschwister
    > ploetzlich
    > eine scheinbar andere Aussage ueber die Wahrscheinlichkeit gemacht
    > werden
    > kann.
    Das war in unseren Augen ein Reiz der Aufgabe, dass das Ergebnis für
    viele unerwartet ist.
    Die Statistik mit den 6000 Familien ist da aber ganz eindeutig. 1500
    Familien scheiden aus, wenn das ältere Kind der Junge ist, übrigens
    auch bei der neuen Gesamtheit, so dass hier die relative Häufigkeit
    mit 1500 durch 3000 bestimmt werden muss.
    > Noch kurioser ist, das die gegenteilige Aussage, der Junge waere das
    > juengere Kind, zu genau der gleichen Wahrscheinlichkeit von 0,5
    > fuehrt.
    Das ist nicht kurioser als das andere. Die Besonderheit liegt darin,
    dass eine Festlegung getroffen wird. Ohne diese Festlegung sieht die
    jeweilige statistische Gesamtheit bei den 6000 Familien verschieden aus.
    > Wir muessen zwingend davon ausgehen, das Ralph entweder juenger
    > oder aelter ist,
    > genau einer der Faelle muss zutreffen. Jeweils ist die
    > Wahrscheinlichkeit
    > 0,5, wenn wir eine der Aussagen annehmen.
    Das ist unbestritten. Nur ändert sich mit der jeweiligen Annahme das
    Problem.
    > Den Gesetzen der Wahrscheinlichkeitsrechnung zufolge ist daher
    > grundsaetzlich die
    > Wahrscheinlichkeit fuer ein Maedchen 0,5 und unabhaengig vom Alter der
    > Geschwister.

    > Ein etwas anderer Zugang
    > Beobachte die genannten 6000 Familien bis eines der Kinder an das
    > Fenster
    > kommt. In 3000 Familien kommt ein Junge ans Fenster (nicht etwa
    > 4500) und in
    > 3000 Familien wird ein Maedchen an das Fenster kommen. Von
    > erstgenannten
    > Familien haben 1500 Familien einen weiteren Jungen. Auch das
    > empirische
    > Experiment fuehrt damit zur Loesung 0,5.
    Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Junge ans Fenster geht, ist nicht
    gefragt. Das wird als Fakt gesetzt und gefragt, wie sich die
    Wahrscheinlichkeit für das Vorkommen eines Mädchens dadurch ändert.

    > mit freundlichem Gruessen,
    > Christian Roesch

    Mit freundlichen Grüßen
    Werner Begoihn

    f'`8k

    Gruß, TGGC (making great games since 1992)

    0
  • L

    jetzt mal mit einfachen mittel ... wo man nich 9 monate immer warten muss oder so lange bis ne familie einzeiht xD

    nehmt 2 münzen ... eine 10 cent für das jünger kind zB und eine 20 cent münze für das ältere.

    jetzt werft eine münze ... kopf ist junge zahl is mädchen ...
    so nun hab ihr geschwisterteil nummer 1 und jetzt werft ihr noch mal wie hoch wird wohl die wahrscheinlichkeit von kopf oder zahl sein ? 66% das es was anderes ist weil da schon das eine liegt ?

    noch fragen xD

    0
  • ?

    LinkeT schrieb:

    jetzt werft eine münze ... kopf ist junge zahl is mädchen ...
    so nun hab ihr geschwisterteil nummer 1 und jetzt werft ihr noch mal wie hoch wird wohl die wahrscheinlichkeit von kopf oder zahl sein ? 66% das es was anderes ist weil da schon das eine liegt ?

    deine analogie ist richtig zum DRITTEN teil in TGGCs link - da wo man weiß, dass der junge zuerst rausgekommen ist. sie ist FALSCH für den zweiten teil, wo man nur weiß, dass es einen jungen GIBT. wenn du den versuch RICHTIG machst, kommt auch 66% raus.

    RICHTIG wäre:
    wirf ZWEI münzen, und decke EINE auf. wenn es ZAHL ist, schreibe auf, was die andere münze zeigt. wenn es KOPF ist, mache gar nichts(!). wiederhole.

    0

  • jucks schrieb:

    RICHTIG wäre:
    wirf ZWEI münzen, und decke EINE auf. wenn es ZAHL ist, schreibe auf, was die andere münze zeigt. wenn es KOPF ist, mache gar nichts(!). wiederhole.

    Geanu das macht er. Genau das ist analog zu Teil 2 und Teil 3 der Frage. Genau dann kommt 50% raus.

    Etwas anderes waere es, wenn ich 2 Muenzen verdeckt werfe, mir _beide_ anschaue, und dir dann sage, wenn mindestens einmal Kopf dabei ist dir eine Muenze mit Kopf zeige. Dann ist die Chance bei der anderen 2/3 auf Zahl. Wichtig ist, das ich ganz bewusst beide Muenzen anschaue und nach dem Kopf suche, und nicht einfach eine beliebige aufdecke, denn dann koennte ich Zahl aufdecken und den Kopf bei der anderen Muenze uebersehen. Dann faellt der Wurf naemlich weg, da nicht zuerst Kopf aufgedeckt wurde. Darum gibt es beim bewusste Wahlen mehr Kopf/Zahl als beim zufaelligen Waehlen der ersten Muenze. Aber wenn schon der Veranstalter eines Mathezirkel diesen Unterschied nicht kapiert... f'`8k

    Autocogito

    Gruß, TGGC (making great games since 1992)

    0
  • S

    Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Junge ans Fenster geht, ist nicht
    gefragt. Das wird als Fakt gesetzt und gefragt, wie sich die
    Wahrscheinlichkeit für das Vorkommen eines Mädchens dadurch ändert.

    Da hängts meiner Meinung nach. Man setzt etwas, das die Wahrscheinlichkeit beeinflusst, als Fakt. Kann man das wirklich so machen?

    Mir erscheint das, was der Schreiber in TGGCs Quote geschrieben hat, bei weitem schlüssiger: sind 2 Jungen da, ist die Wahrscheinlichkeit, einen Jungen als ersten am Fenster zu sehen, 100%. Ist es ein Mädchen und ein Junge sinkt die Wahrscheinlichkeit, den Jungen als Erstes zu sehen, auf 50%, also die Hälfte. Das kann man doch nicht einfach so auszer Acht lassen, das hört sich für mich an nach: Alles, was unser Resultat verändern könnte, wird auszer Acht gelassen.

    0
  • B

    Shinja schrieb:

    Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Junge ans Fenster geht, ist nicht
    gefragt. Das wird als Fakt gesetzt und gefragt, wie sich die
    Wahrscheinlichkeit für das Vorkommen eines Mädchens dadurch ändert.

    Da hängts meiner Meinung nach. Man setzt etwas, das die Wahrscheinlichkeit beeinflusst, als Fakt. Kann man das wirklich so machen?

    Ja, das tut man in der Mathematik ständig. "Angenommen X gilt, dann gilt auch Y". An der stelle wo TGGC mit seinem empirischen Argument anfängt ist seine Argumentation wirklich kaputt.

    TGGC schrieb:

    Etwas anderes waere es, wenn ich 2 Muenzen verdeckt werfe, mir _beide_ anschaue, und dir dann sage, wenn mindestens einmal Kopf dabei ist dir eine Muenze mit Kopf zeige. Dann ist die Chance bei der anderen 2/3 auf Zahl. Wichtig ist, das ich ganz bewusst beide Muenzen anschaue und nach dem Kopf suche, und nicht einfach eine beliebige aufdecke, denn dann koennte ich Zahl aufdecken und den Kopf bei der anderen Muenze uebersehen. Dann faellt der Wurf naemlich weg, da nicht zuerst Kopf aufgedeckt wurde. Darum gibt es beim bewusste Wahlen mehr Kopf/Zahl als beim zufaelligen Waehlen der ersten Muenze.

    👍

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  • ?

    Schauen wir alle Eltern mit 2 Kinder an, wobei eins davon ein Junge sein muss.
    Glaubt ihr tatsächlich, dass es nun mehr Eltern gibt, die noch ein Mädchen haben als Eltern, die noch ein Junge haben?

    0
  • B

    Statistiker schrieb:

    Schauen wir alle Eltern mit 2 Kinder an, wobei eins davon ein Junge sein muss.
    Glaubt ihr tatsächlich, dass es nun mehr Eltern gibt, die noch ein Mädchen haben als Eltern, die noch ein Junge haben?

    ja!

    0

  • Das Dumme ist nur, das ist nicht die Frage. Es geht ja nur um die Familien, wo man den Jungen am Fenster sieht. f'`8k

    Autocogito

    Gruß, TGGC (making great games since 1992)

    0

  • Sehr geehrter Herrn Begoihn,

    > Hier sehe ich nicht, wo der Unterschied der Voraussetzung "Sobald
    > Dorothea weiß, dass mindestens eines der Kinder ein Junge ist,
    > beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass das andere Kind ein Mädchen ist,
    > 0,667" zu der im Aufgabentext umrissenen Voraussetzung besteht.
    Der Unterschied ist, das einmal das Geschlecht eines zufaelligen Kindes
    erfaehrt oder jemand absichtlich einen Jungen waehlt und sein Geschlecht
    bekannt gibt. Von Letzterem kann man aber nicht ausgehen, wenn man ein Kind
    am Fenster sieht. Dieser wichtige Unterschied ist zum Beispiel auch im Monty
    Hall Problem zu beobachten. Jemand mit Hintergrundwissen oeffnet absichtlich
    genau die Tuer mit einer Ziege dahinter. Wuerde die Ziege nur zufaellig
    gezeigt, sind die Wahrscheinlichkeiten anders verteilt. Eine eingehendere
    Betrachtung dazu findet sich hier:
    http://www.mathpages.com/home/kmath036.htm

    > Der Unterschied in der Notation ist wesentlich, was man daran
    > erkennt, dass ein Wechsel der Notation zu anderen Ergebnissen führt.
    Eine Notation beeinflusst nie das Ergebnis, das Ergebnis ist unter allen
    Notationen
    gleich. Es ist lediglich unter einigen Notationen evtl. leichter zu
    berechnen. Auch die benuzte Notation fuehrt zum Ergebnis von 1/2 wenn man
    beachtet, das die Wahrscheinlichkeit von (J;J) 0,5 und die von (J;M) und
    (M;J) jeweils 0,25 ist.

    > Die den Elementen zugeschriebene Wahrscheinlichkeit geht von der
    > Frage aus, wie wahrscheinlich es ist, dass eine Familie mit zwei
    > Kindern zwei Jungen hat.
    Dies ist aber falsch. Die Wahrscheinichkeit muss von der beschriebenen
    Situation ausgehen. Beschrieben ist, das ein Junge am Fenster steht, daher
    ist die Wahrscheinlichkeit fuer (J;J) hoeher. In solchen Familien stehen
    oefter Jungen am
    Fenster. Eine andere Moeglichkeit ist, in den Elementen auch noch anzugeben,
    wer denn nun am Fenster steht. Nehmen wir beispielsweise an (J;M;2) steht
    fuer Junge Maedchen und 2. Kind (also Maedchen) am Fenster. Es ergeben sich
    dann die 8 moeglichen Ereignisse:
    (J;J;1); (J;J;2); (M;J;1); (M;J;2); (J;M;1); (J;M;2); (M;M;1); (M;M;2)

    Wissen wir nun, das ein Junge am Fenster steht, bleiben folgende, diesmal
    wirklich gleich wahrscheinliche Moeglichkeiten:
    (J;J;1); (J;J;2); (M;J;2); (J;M;1)

    Eine weitere Notation, das Ergebnis ist wiederum 0,5.

    > Es ist sozusagen eine bevölkerungsstatistische Aussage, die völlig
    unabhängig von
    > irgendwelchen Erscheinungen an irgendwelchen Fenstern ist.
    Wer die Aufgabenstellung ignoriert, kann natuerlich leicht zu falschen
    Ergebnissen kommen.

    > Das war in unseren Augen ein Reiz der Aufgabe, dass das Ergebnis für
    > viele unerwartet ist.
    Unerwartet oder lediglich falsch? Ich kann ihre Argumentation nachvollziehen
    aber nicht teilen.

    > Noch kurioser ist, das die gegenteilige Aussage, der Junge waere das
    > juengere Kind, zu genau der gleichen Wahrscheinlichkeit von 0,5
    > fuehrt.
    > Das ist nicht kurioser als das andere.
    Nein, es ist tatsaechlich nicht kurioser, wenn man weiss, das die Loesung
    0,5 ist. Dies wiederspricht nur der Annahme, die Loesung koennte 2/3 sein.
    Man bedenke, wenn die Wahrscheinlichkeit von A unter der Vorbedingung B
    gleich der Wahrscheinlichkeit von A unter der Vorbedingung nicht B ist, so
    entspricht sie der Wahrscheinlichkeit von A und A ist von B unabhaengig.
    Wenn also die Wahrscheinichkeit fuer ein Maedchen unter der Bedingung, der
    Junge ist das aeltere Kind 0,5 ist und die Wahrscheinlichkeit fuer ein
    Maedchen unter der Bedingung, der Junge ist das juengere - und eben nicht
    das aeltere - Kind ebenfalls 0,5 ist, so ist die Wahrscheinlichkeit stets
    0,5 unabhaengig vom Alter.

    > Wir muessen zwingend davon ausgehen, das Ralph entweder juenger
    > oder aelter ist,
    > genau einer der Faelle muss zutreffen. Jeweils ist die
    > Wahrscheinlichkeit
    > 0,5, wenn wir eine der Aussagen annehmen.
    > Das ist unbestritten. Nur ändert sich mit der jeweiligen Annahme das
    > Problem.
    Moeglicherweise aendert sich das Problem. In der Mathematik darf aber nie
    die Loesung eines Problemes im Widerspruch zur Loesung eines anderen
    Problemes
    stehen.

    > Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Junge ans Fenster geht, ist nicht
    > gefragt. Das wird als Fakt gesetzt [...]
    Die Wahrscheinlichkeit wird nicht als Fakt gesetzt. Sie ist ueberhaupt nicht
    gegeben. Das Ereignis selbst wird als Fakt gesetzt, aber nicht seine
    Wahrscheinlichkeit. Wenn ich eine 6 wuerfele, so ist die Wahrscheinlichkeit
    davon immer noch 1/6. Wenn im Lotto die 13 gezogen wird, so ist die
    Wahrscheinlichkeit davon immer noch 1/49. Wenn ein Kind am Fenster steht, so
    ist sein Geschlecht immer noch mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 maennlich.
    Nach der Regel des unzureichenden Grundes muessen wir von dieser
    Wahrscheinlichkeit ausgehen, so lange die Aufgabenstellung nicht explizit
    etwas Anderes vorgibt.

    Sehr geehrter Herr Rösch,
    Sie schrieben in Ihrer ersten Mail:
    > Nun entspricht das allerdings nicht ganz der Aufgabenstellung.
    > Dorothea
    > kennt naemlich das Geschlecht eines bestimmten Kindes ("das Kind am
    > Fenster") und es muesste dann der Loesungsweg aus dem dritten Teil der
    > Aufgabe angewendet werden.
    Das Problem liegt im Sinn des Wortes "bestimmt". Die Aufgabenstellung
    lässt zwei Bestimmungen zu, die nach Geschlecht und Alter. "Das Kind
    am Fenster" ist nach dem Geschlecht bestimmt, nicht aber nach dem
    Alter, da Dorothea nicht weiß, ob es das jüngere oder das ältere ist.

    > Hier sehe ich nicht, wo der Unterschied der Voraussetzung "Sobald
    > Dorothea weiß, dass mindestens eines der Kinder ein Junge ist,
    > beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass das andere Kind ein Mädchen ist,
    > 0,667" zu der im Aufgabentext umrissenen Voraussetzung besteht.
    > Der Unterschied ist, das einmal das Geschlecht eines zufaelligen
    > Kindes
    > erfaehrt oder jemand absichtlich einen Jungen waehlt und sein
    > Geschlecht
    > bekannt gibt. Von Letzterem kann man aber nicht ausgehen, wenn man
    > ein Kind
    > am Fenster sieht.
    Heißt das, dass wir gemeinsam davon ausgehen, dass Dorothea nur weiß,
    dass mindestens eines der Kinder ein Junge ist?

    > Der Unterschied in der Notation ist wesentlich, was man daran
    > erkennt, dass ein Wechsel der Notation zu anderen Ergebnissen führt.
    > Eine Notation beeinflusst nie das Ergebnis, das Ergebnis ist unter
    > allen
    > Notationen gleich.
    Das setzt die Angemessenheit der Notation voraus. Wenn man mit zwei
    Notationen zu verschiedenen Ergebnissen kommt, ist mindestens eine
    dem Problem nicht angemessen.
    > Es ist lediglich unter einigen Notationen evtl. leichter zu
    > berechnen. Auch die benuzte Notation fuehrt zum Ergebnis von 1/2
    > wenn man
    > beachtet, das die Wahrscheinlichkeit von (J;J) 0,5 und die von
    > (J;M) und
    > (M;J) jeweils 0,25 ist.
    Über diese Wahrscheinlichkeiten sind wir verschiedener Meinung. Ohne
    Vorwissen beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass eine Familie mit zwei
    Kindern zwei Jungen hat 0,25; die Wahrscheinlichkeit für ein
    gemischtes Geschwisterpaar 0,5 und für zwei Mädchen 0,25. Deswegen
    ist die Antwort auf die erste Frage zwischen uns ja auch unstrittig
    (jedenfalls nehme ich das an, weil Sie das bisher noch nicht in die
    Auseinandersetzung eingeführt haben). Durch das Vorwissen ändern sich
    die Wahrscheinlichkeiten mit dem Faktor 1/0,75 für die jetzt noch
    möglichen Fälle (0,75 ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Junge
    dabei ist.)

    > Die den Elementen zugeschriebene Wahrscheinlichkeit geht von der
    > Frage aus, wie wahrscheinlich es ist, dass eine Familie mit zwei
    > Kindern zwei Jungen hat.
    > Dies ist aber falsch. Die Wahrscheinichkeit muss von der beschriebenen
    > Situation ausgehen. Beschrieben ist, das ein Junge am Fenster
    > steht, daher
    > ist die Wahrscheinlichkeit fuer (J;J) hoeher. In solchen Familien
    > stehen
    > oefter Jungen am
    > Fenster.
    Hier widersprechen Sie dem, was Sie am Ende schreiben.
    > Eine andere Moeglichkeit ist, in den Elementen auch noch anzugeben,
    > wer denn nun am Fenster steht. Nehmen wir beispielsweise an (J;M;2)
    > steht
    > fuer Junge Maedchen und 2. Kind (also Maedchen) am Fenster. Es
    > ergeben sich
    > dann die 8 moeglichen Ereignisse:
    > (J;J;1); (J;J;2); (M;J;1); (M;J;2); (J;M;1); (J;M;2); (M;M;1); (M;M;2)

    > Wissen wir nun, das ein Junge am Fenster steht, bleiben folgende,
    > diesmal
    > wirklich gleich wahrscheinliche Moeglichkeiten:
    > (J;J;1); (J;J;2); (M;J;2); (J;M;1)
    Diese Aufteilung passt zur Fragestellung:
    Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sich bei einer Familie mit
    zwei Kindern, über deren Geschlecht man nichts weiß, ein Junge am
    Fenster zeigt? (vier zutreffende Fälle von acht möglichen.)
    Gefragt ist aber nach der Wahrscheinlichkeit, dass ein Mädchen dabei
    ist, wenn sich schon ein Junge gezeigt hat.
    Gehen wir wieder von unseren 6000 Familien aus, dann hat sich bei den
    1500 Familien mit zwei Jungen einmal der jüngere (davon gibt es 1500)
    und einmal der ältere (davon gibt es auch 1500) am Fenster gezeigt.
    Das ändert aber nichts daran, dass es 1500 Familien mit zwei Jungen
    sind. Ebenso gibt es 1500 Familien mit einem älteren Mädchen und
    einem jüngeren Jungen und 1500 Familien mit einem jüngeren Jungen und
    einem älteren Mädchen. Wir zählen also 4500 Familien. In 3000 davon
    ist ein Kind ein Mädchen. Wähle ich also eine Familie aus den 4500,
    so erhalte ich mit einer Wahrscheinlichkeit von 2/3 eine, in der ein
    Mädchen vorkommt.
    Würde ich abweichend von der Fragestellung in unserem Aufgabenblatt
    nach der Wahrscheinlichkeit fragen, dass sich bei den 4500 Familien
    mit mindestens einem Jungen zufällig ein Junge am Fenster zeigt, so
    wären von den 9000 Kinder in diesen Familien 6000 Jungen, es wäre
    also mit der Wahrscheinlichkeit 2/3 ein Junge.

    > Eine weitere Notation, das Ergebnis ist wiederum 0,5. (Wofür? - wb)

    > Noch kurioser ist, das die gegenteilige Aussage, der Junge waere das
    > juengere Kind, zu genau der gleichen Wahrscheinlichkeit von 0,5
    > fuehrt.
    > Das ist nicht kurioser als das andere.
    > Nein, es ist tatsaechlich nicht kurioser, wenn man weiss, das die
    > Loesung
    > 0,5 ist. Dies wiederspricht nur der Annahme, die Loesung koennte
    > 2/3 sein.
    > Man bedenke, wenn die Wahrscheinlichkeit von A unter der
    > Vorbedingung B
    > gleich der Wahrscheinlichkeit von A unter der Vorbedingung nicht B
    > ist, so
    > entspricht sie der Wahrscheinlichkeit von A und A ist von B
    > unabhaengig.
    Hier hilft es, die Vorbedingung einmal ausdrücklich auszusprechen:
    B: Das Kind am Fenster ist das ältere und es ist ein Junge. Nicht B
    hieße dann:
    Das Kind am Fenster ist das jüngere oder es ist ein Mädchen. (De
    Morgansche Regel der Negation.)
    Fasst man B unter Zugrundelegen meiner Notation als Menge, so enthält
    es die Elemente (J;J) und (J;M).
    Nicht B enthält dann die Elemente (M;J) und (M;M)
    > Wenn also die Wahrscheinichkeit fuer ein Maedchen unter der
    > Bedingung, der
    > Junge ist das aeltere Kind 0,5 ist und die Wahrscheinlichkeit fuer ein
    > Maedchen unter der Bedingung, der Junge ist das juengere - und eben
    > nicht
    > das aeltere - Kind ebenfalls 0,5 ist, so ist die Wahrscheinlichkeit
    > stets
    > 0,5 unabhaengig vom Alter.
    Das gilt eben genau deshalb nicht, weil "nicht B" eben nicht heißt,
    dass das jüngere Kind ein Junge ist.

    > Wir muessen zwingend davon ausgehen, das Ralph entweder juenger
    > oder aelter ist,
    > genau einer der Faelle muss zutreffen. Jeweils ist die
    > Wahrscheinlichkeit
    > 0,5, wenn wir eine der Aussagen annehmen.
    > Das ist unbestritten. Nur ändert sich mit der jeweiligen Annahme das
    > Problem.
    > Moeglicherweise aendert sich das Problem. In der Mathematik darf
    > aber nie
    > die Loesung eines Problemes im Widerspruch zur Loesung eines anderen
    > Problemes
    > stehen.
    Der Widerspruch besteht nur in der inkorrekten Bildung der
    Komplementärmenge "nicht B".

    > Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Junge ans Fenster geht, ist nicht
    > gefragt. Das wird als Fakt gesetzt [...]
    Das war offenbar zu kurz formuliert: Es wird als Fakt gesetzt, dass
    ein Junge ans Fenster geht.
    > Die Wahrscheinlichkeit wird nicht als Fakt gesetzt. Sie ist
    > ueberhaupt nicht
    > gegeben. Das Ereignis selbst wird als Fakt gesetzt, aber nicht seine
    > Wahrscheinlichkeit. Wenn ich eine 6 wuerfele, so ist die
    > Wahrscheinlichkeit
    > davon immer noch 1/6. Wenn im Lotto die 13 gezogen wird, so ist die
    > Wahrscheinlichkeit davon immer noch 1/49.
    Wenn beim Lotto bereits die 13 gezogen wurde, dann ist die
    Wahrscheinlichkeit, dass sie bei der gleichen Ziehung noch einmal
    auftaucht 0, weil es nur eine 13 gibt. Wenn schon eine andere Kugel
    gezogen wurde, dann ist die Wahrscheinlichkeit, dass die 13 als
    zweite Kugel gezogen wird 1/48. Es ist also möglich, dass Fakten die
    Wahrscheinlichkeiten ändern, um das zu beschreiben, ist der Begriff
    der bedingten Wahrscheinlichkeit eingeführt worden.
    > Wenn ein Kind am Fenster steht, so
    > ist sein Geschlecht immer noch mit der Wahrscheinlichkeit 1/2
    > maennlich.
    > Nach der Regel des unzureichenden Grundes muessen wir von dieser
    > Wahrscheinlichkeit ausgehen, so lange die Aufgabenstellung nicht
    > explizit
    > etwas Anderes vorgibt.
    Die Aufgabenstellung geht davon aus, dass das am Fenster stehende
    Kind erkennbar ein Junge ist.

    Diesmal doch noch einige kurze Anmerkungen, die ich mir nicht verkneifen kann:

    Die Aufgabenstellung lässt zwei Bestimmungen zu, die nach Geschlecht und Alter.

    Falsch, die Aufagenstellung kann ueberhaupt keine Bestimmung verbieten. Ich darf eine beliebige verwenden. Wenn ich nach z.b. Groesse oder Gewicht unterscheiden, wenn ich moechte. Ausserdem ist gerade nach meiner Unterscheidung am Fenster/nicht am Fenster an ein Unterscheidung an Hand der Aufgabenstellung gegeben.

    Heißt das, dass wir gemeinsam davon ausgehen, dass Dorothea nur weiß,
    dass mindestens eines der Kinder ein Junge ist?

    Falsch.

    Das setzt die Angemessenheit der Notation voraus. Wenn man mit zwei
    Notationen zu verschiedenen Ergebnissen kommt, ist mindestens eine
    dem Problem nicht angemessen.

    Falsch. JEDE Notation fuehrt per Definition zum selben Ergebnis. Wenn etwas falsch ist, dann der Rechenweg.

    Durch das Vorwissen ändern sich die Wahrscheinlichkeiten mit dem Faktor 1/0,75 für die jetzt noch möglichen Fälle (0,75 ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Junge dabei ist.)

    Falsch.

    Hier widersprechen Sie dem, was Sie am Ende schreiben.

    Falsch.

    Würde ich abweichend von der Fragestellung in unserem Aufgabenblatt
    nach der Wahrscheinlichkeit fragen, dass sich bei den 4500 Familien
    mit mindestens einem Jungen zufällig ein Junge am Fenster zeigt, so
    wären von den 9000 Kinder in diesen Familien 6000 Jungen, es wäre
    also mit der Wahrscheinlichkeit 2/3 ein Junge.

    ACHTUNG: KORREKT(Selbst wenn der Rechenweg nicht astrein ist.)! Und damit waere gezeigt, das nicht in allen diese 4500 Familien der Junge am Fenster steht! Er steht nur bei 3000 Familien am Fenster, was uns zu derr korrekten Loesung 0,5 fuehrt! (LOL)

    Hier hilft es, die Vorbedingung einmal ausdrücklich auszusprechen:
    B: Das Kind am Fenster ist das ältere und es ist ein Junge. Nicht B
    hieße dann:
    Das Kind am Fenster ist das jüngere oder es ist ein Mädchen. (De
    Morgansche Regel der Negation.)

    Und da die Aufagebstellung sagt, das Kind am Fenster ist ein Junge, wird diese Bedingung nur von einem juengeren Jungen erfuellt. f'`8k

    Gruß, TGGC (making great games since 1992)

    0
  • S

    Jetzt mal im Ernst: Ist es nicht annehmbar, wenn soviele Leute 87 Seiten lang über das Thema streiten können, dass dann schlicht und ergreifend die Aufgabenstellung unzureichend ist.

    Und ja, das ist sie. Sie lässt 2 Interpretationen zu:
    a) die Familie hat den Jungen ans Fenster geschickt, damit er als erster gesehen wird. (66%)
    b) von 2 Kindern steht eins zufällig am Fenster und wir betrachten nur die Fälle, in denen das ein Junge war. (50%)

    Mehrdeutige Aufgabenstellungen sind ja keine Seltenheit (wir hatten regelmäszig welche in der Schule) und besonders in Wahrscheinlichkeitsrechnungen nervig. Es muss einfach besser präzisiert werden, was gemeint ist.

    0
  • A

    Meiner Meinung nach ist die Aufgabenstellung einsdeutig. Sie sagt: es steht ein Junge am Fenster. Das ist nicht zufällig, sondern eine Voraussetzung.
    Gesucht ist die W'keit
    P["die Fam. hat einen Jungen und ein Mädchen" | "die Fam. hat mindestens einen Jungen] = P[(M,J),(J,M)] / P[(M,J), (J,M), (J,J)] = (1/2) / (3/4) = 2/3

    wobei der Grundraum gleich {(M,M),(J,M),(M,J),(J,J)} ist und man die uniforme Verteilung darauf betrachtet.
    War jetzt zu faul um hier alle 80 seiten durchzulesen und weiss daher nicht wieoft diese Lösung schon kam und von anderen verworfen wurde...

    0

  • Shinja schrieb:

    Jetzt mal im Ernst: Ist es nicht annehmbar, wenn soviele Leute 87 Seiten lang über das Thema streiten können, dass dann schlicht und ergreifend die Aufgabenstellung unzureichend ist.

    Und ja, das ist sie. Sie lässt 2 Interpretationen zu:
    a) die Familie hat den Jungen ans Fenster geschickt, damit er als erster gesehen wird. (66%)
    b) von 2 Kindern steht eins zufällig am Fenster und wir betrachten nur die Fälle, in denen das ein Junge war. (50%)

    Nein. Es ist nur Interpretation b) zulaessig. Siehe Regel des unzureichenden Grundes. "Nun siehst du am Fenster einen Jungen stehen" - es ist nichts weiter angegeben, warum der da steht. Wenn man einen Menschen sieht, ist er erstmal immer zu 50% maennlich. Aus was in der Aufgabenstellung willst du denn die Ungleichverteilung ablesen? Wenn man sowas dazu erfindet, dann ist das bestenfalls Verdrehung der Aufgabenstellung, genau wie meine Interpretation c) Das Maedchen draengelt sich aus Neugier immer vor. Ausserdem wurde von vielen der Vertretern der 2/3 Loesung hartnaeckig behauptet, sie muessten Annahme a) ueberhaupt nicht treffen, z.b. finix.

    asmodis schrieb:

    Meiner Meinung nach ist die Aufgabenstellung einsdeutig. Sie sagt: es steht ein Junge am Fenster. Das ist nicht zufällig, sondern eine Voraussetzung.

    Das ist Voraussetzung. Und das ist zufaellig. Mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,5.

    asmodis schrieb:

    Gesucht ist die W'keit
    P["die Fam. hat einen Jungen und ein Mädchen" | "die Fam. hat mindestens einen Jungen]

    Nein. Gesucht wird P["die Fam. hat einen Jungen und ein Mädchen" | "das Kind am Fenster ist ein Junge"]. Es existiert ein Junge ist nicht aequivalent zu das Kind am Fenster ist ein Junge.

    asmodis schrieb:

    War jetzt zu faul um hier alle 80 seiten durchzulesen und weiss daher nicht wieoft diese Lösung schon kam und von anderen verworfen wurde...

    Ja, so ungefaehr 80 mal. f'`8k

    Autocogito

    Gruß, TGGC (making great games since 1992)

    0
  • A

    Die ganze Diskussion dreht sich also um die Frage ob
    P["Junge am Fenster" | "Fam. hat Junge und Maedchen"] = 1 oder = 0,5 ist?

    Darueber koennt ihr echt so lang diskutieren?

    Naja, kann beide Standpunkte nachvollziehen, denke aber, dass P["junga am F"| "Fam..."] = 1 vom Aufgabensteller gemeint war.

    btw ist P[...]= 0,5 ja auch eine ziemlich willkuerliche festlegung. Daher find ich es etwas vermessen zu behaupten, dass das die richtige loesung waere...

    0

  • asmodis schrieb:

    Die ganze Diskussion dreht sich also um die Frage ob
    P["Junge am Fenster" | "Fam. hat Junge und Maedchen"] = 1 oder = 0,5 ist?

    Nicht nur, aber auch.

    asmodis schrieb:

    Naja, kann beide Standpunkte nachvollziehen, denke aber, dass P["junga am F"| "Fam..."] = 1 vom Aufgabensteller gemeint war.

    Und wieso? Wie geht das denn aus der Aufgabenstellung hervor?

    asmodis schrieb:

    btw ist P[...]= 0,5 ja auch eine ziemlich willkuerliche festlegung. Daher find ich es etwas vermessen zu behaupten, dass das die richtige loesung waere...

    Nein, das ist nicht vermessen, sondern folgt aus der Regel des unzureichenden Grundes. Ausserdem ist es gesunder Menschenverstand. Wenn in es in der Familie ein Junge und ein Maedchen gibt, dann koennen auch beide am Fenster stehen. Daher ist 0,5 die Warscheinlichkeit, die man hier annehmen muss. Und wenn du 1 nehmen willst, dann frage ich wieder, warum nicht einfach 0? 1 ist willkuerlich, 0 ist willkuerlich. Aber 0,5 muss man annehmen, da keine weiteren Informationen vorliegen und man deshalb die Gleichverteilung von Maedchen/Junge annimmt. Was meinst du wohl, was ein vernuenftiger Mensch denkt, wenn ich ihn frage: Eine Familie hat einen Jungen und ein Maedchen. Eines der Kinder steht am Fenster. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, das der Junge am Fenster steht? Was wuerdest du darauf antworten? Bist du ein vernuenftiger Mensch? f'`8k

    Autocogito

    Gruß, TGGC (making great games since 1992)

    0
  • A

    hab nie behauptet, dass 0,5 unvernünftig wäre. trotzdem geht 0,5 genausowenig aus der aufgabenstellung hervor wie 1 oder 0.

    uebrigens passt "gesunder menschenverstand" und stochastik nicht unbedingt zusammen.

    edit: hab wohl in meinem axiomensystem das "fehlender grund"-axiom uebersehen... 🙄

    0

  • Eine Familie hat einen Jungen und ein Maedchen. Eines der Kinder steht am Fenster. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, das der Junge am Fenster steht? Antworte! f'`8k

    Autocogito

    Gruß, TGGC (making great games since 1992)

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  • Apropos "uebersehen": man nennt das auch Laplace-Regel, du kannst ja gerne nachschlagen, wenn du es nicht kennst. Das Gleiche wendet man staendig bei solchen Aufgaben an. Es wird eine Muenze geworfen, es wird eine Karte gezogen, es wird gewuerfelt, es wird eine Lottokugel gezogen. Immer geht man dann von der Gleichverteilung aus und denkt nicht etwa, ohh die Karten sind gezinkt und der Lottoautomat ist manipuliert. So was ist einfach nur Verdrehung der Aufgabenstellung. Man faengt bei sowas nicht an, aber beim Kopf ist etwas mehr Metall also ist die Seite der Muenze schwerer und liegt oefter unten. Wenn du nur mit derlei Argmenten kommst, dann kannst du es auch gleich sein lassen. f'`8k

    Autocogito

    Gruß, TGGC (making great games since 1992)

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  • S

    asmodis schrieb:

    (...)
    Gesucht ist die W'keit
    P["die Fam. hat einen Jungen und ein Mädchen" | "die Fam. hat mindestens einen Jungen] = P[(M,J),(J,M)] / P[(M,J), (J,M), (J,J)] = (1/2) / (3/4) = 2/3
    (...)

    Das ist an und für sich schon richtig, das Problem dabei ist, dass es eigentlich heißen müsste:

    P["die Fam. ... " | "die Fam. , die hier vorliegt, hat mindestens einen Jungen"]
    Klas, die Lösung des ersten Teil ist 1/2.
    Die des zweiten ist aber eindeutig 1 (nicht 3/4), denn es ist ja Grundvoraussetzung bei dieser Aufgabe, dass die Familie mindestens einen Jungen hat.
    Wie sollte er sonst am Fenster stehen?

    War jetzt zu faul um hier alle 80 seiten durchzulesen und weiss daher nicht wieoft diese Lösung schon kam und von anderen verworfen wurde...

    Ja, ich auch.
    Ich hoffe, ich hab damit nicht bereits gesagtes wiederholt.

    0
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