Variation der Konstanten

[Nobuo T]

Ich habe hier eine gewoehnliche, lineare, homogene DGL

y' = (cos x)y
und die Loesung
yH(x) = c * e^(sin x), c Element von R

Nun soll ich mit der "Methode der Variation der Konstanten" eine Loesung fuer
y' = (cos x)y + ln|x|, y(1)=1
finden...

Als Ansatz nimmt man da wohl eine Loesung in Form von
y(x) = A(x) * yH(x)
wobei ich dann wohl ein A(x) finden muss, dass
A'(x) * yH(x) = ln|x|
erfuellt...

So weit, so schlecht... Weiter nach Schema F waere das also
A(x) = A0 + ∫(x,α)ln|t| / yH(t) dt

und da stehe ich gerade voll auf der Leitung.
1. Ist das so weit ueberhaupt korrekt, oder habe ich bis hier schon Fehler drin?
2. Darf yH hier keine Nullstelle haben - hat es aber, wenn c=0 ... nehme ich dann fuer diese Gleichung einfach eine andere Konstante und schliesse da die 0 aus, oder was muss ich da tun?
3. Wie gehe ich dann an die Loesung dieses Schmucken Integrals, das da raus kommt?
c aussen vor gelassen waere das wohl
∫(x,α)ln|t| / e^(sin t) dt

[Daniel E.]

Nobuo T schrieb:

2. Darf yH hier keine Nullstelle haben - hat es aber, wenn c=0 ... nehme ich dann fuer diese Gleichung einfach eine andere Konstante und schliesse da die 0 aus, oder was muss ich da tun?

Welches c? Es war doch yH(x)=c exp(sinx), mit c aus R fest. Für die partikuläre Lösung setzt du also: yP(x) = c(x) exp(sinx), bzw. du nennst das c(x) halt A(x). Das ist doch gerade der Witz an der Variation der Veränderlichen: daß Du deine Partikulärlösung erhältst, indem Du die Konstante der homogenen Gleichung variierst.

Die Gesamtlösung ergibt sich dann zu y(x)=yH(x)+yP(x).

3. Wie gehe ich dann an die Loesung dieses Schmucken Integrals, das da raus kommt?
c aussen vor gelassen waere das wohl
∫(x,α)ln|t| / e^(sin t) dt

Ich würde nicht besonders viel darauf wetten, daß man für dieses Integral überhaupt einen analytischen Ausdruck hinschreiben kann ...

(BTW: was ist eigentlich (x, a)? Sollen das die Integrationsgrenzen sein?)

[Nobuo T]

Ok, macht Sinn.
Damit ist 2. dann also geklaert, und 1. so weit auch... Danke dafuer.
Bleibt zur fertigen Loesung noch 3.
Ich meine: Ich sehe es doch richtig, dass ich zur Bestimmung von A(x) oder c(x) nicht um dieses Integral herumkomme?

Daniel E. schrieb:

(BTW: was ist eigentlich (x, a)? Sollen das die Integrationsgrenzen sein?)

Ja. 1. oben, 2. unten.