4. Knifflige Abschätzung

Knifflige Abschätzung

  • G

    Hallo allerseits!

    Ich versuch mich gerade an einer Abschätzung, die es in sich hat. Das Problem hierbei ist der Nenner. Vorsicht: Am Anfang Δ-Ungleichung im Zähler ist vielleicht schon zu weit über's Ziel hinaus geschossen...

    Seien a,b,c reelle Zahlen. zu zeigen:
|a-c|/(1+|a-c|) [e]le[/e] |a-b|/(1+|a-b|) + |b-c|/(1+|b-c|)
    0
  • C

    Erstens: Wo kommt denn das c her?

    Zweitens: Hast du mal versucht, das Ganze auf einen Hauptnenner zu bringen?

    0
  • V

    mein bescheidener versuch sieht so aus:

    |a-c|/(1+|a-c|) ≤ |a-b|/(1+|a-b|) + |b-c|/(1+|b-c|)

    fallunterscheidungen, weil ich mit beträgen so schlecht umgehen kann.

    fall 1: a>=b>=c (dann gibts wohl ingesamt 6 fälle.)

    (a-c)/(1+a-c) ≤ (a-b)/(1+a-b) + (b-c)/(1+b-c)
    nenner wegmachen
    (a-c)(1+a-b)(1+b-c) ≤ (a-b)(1+a-c)(1+b-c) + (b-c)(1+a-c)(1+a-b)
    ausmultiplizieren und gucken...
    bin ich aber zu faul und nehme derive und berechne
    (a-b)(1+a-c)(1+b-c) + (b-c)(1+a-c)(1+a-b) - (a-c)(1+a-b)(1+b-c)
    das wird zu
    (a - b)·(a - c + 2)·(b - c)
    und das ist größer oder glerich 0, weil alle drei faktoren größer oder gleich 0 sind.

    0
  • C

    sieht irgendwie wie die Dreiecksungleichung aus...
    ich substituiere mal:
    d = |a-c|
    e = |a-b|
    f = |b-c|

    also
    d/(1+d) ≤ e/(1+e) + f/(1+f)

    d(1+e)(1+f) ≤ (1+d)(e(1+f)+f(1+e))
    d(1+e+f+ef) ≤ (1+d)(e+2ef+f)
    d+de+df+def ≤ e+2ef+f+de+2def+df
    d ≤ e+2ef+f+def
    jetzt gibt es nur 3 Fälle:
    1. d = e + f => e+f ≤ e+2ef+f+def => 0 ≤ 2ef+def
    2. d = e - f => e-f ≤ e+2ef+f+def => 0 ≤ 2ef+2f+def
    3. d = f - e => f-e ≤ e+2ef+f+def => 0 ≤ 2e+2ef+def

    da d,e,f nicht negativ sind, sind diese Ungleichungen offensichtlich wahr

    0
  • G

    Ok, danke...
    Wie ich sehe, komme ich da um viel Schreibarbeit nicht herum. Hab' gehofft, daß jemand irgendwo irgendeinen Trick auf Lager hat...

    0
  • ?

    1. Kannst du ohne Einschränkungen annehmen, dass a <= c ist. Falls a > c, vertausche in der Ungleichung einfach die Rollen von a und c, und es passt wieder.

    2. Einfache Implikationen reichen nicht aus, du darfst nur Äquivalenzen ausführen. -1 >= 1 ist falsch. Durch beidseitiges Quadrieren erhälst du -1 >= 1 => 1 >= 1. Du hast also aus einer falschen Aussage eine wahre gefolgert.

    3. Camper, wie kommst du auf deine drei Fälle?

    0
  • C

    Taurin unterwges schrieb:

    3. Camper, wie kommst du auf deine drei Fälle?

    Einfache Reduktion von volkards 6 Fällen in Verbindung mit der Substitution. Oder einfacher (bildlich): a,b,c sind irgendwelche Punkte auf der Zahlengeraden, dann sind d,e,f nichts weiter als die Strecken zwischen diesen Punkten; und die größte Strecke wird einfach durch den mittleren Punkt geteilt - folglich ist die Summe der Längen der kürzeren Strecken gleich der Länge der längsten Strecke. Die drei Fälle korrespondieren dann einfach damit, welches jeweils die längste Strecke ist.

    0
  • B

    Könntest auch mit:
    d = 1+|a-c|
    e = 1+|a-b|
    f = 1+|b-c|
    probieren da d,e,f >= 1 kannst du auch fleißig damit multiplizieren da die nicht 0 sein können oder die Richtung der Ungleichung umdrehen können. Desweiteren weißt du dass ein Produkt immer größer ist als die einzeln Faktoren.

    0
  • ?

    camper schrieb:

    d ≤ e+2ef+f+def
    jetzt gibt es nur 3 Fälle:
    1. d = e + f => e+f ≤ e+2ef+f+def => 0 ≤ 2ef+def
    2. d = e - f => e-f ≤ e+2ef+f+def => 0 ≤ 2ef+2f+def
    3. d = f - e => f-e ≤ e+2ef+f+def => 0 ≤ 2e+2ef+def

    da d,e,f nicht negativ sind, sind diese Ungleichungen offensichtlich wahr

    imho besser:
    es gilt:
    |u-v| ≤ |u-w|+|w-v| (1)
    es folgt
    d = |a - c| ≤ |a-b| + |b-c| = e+f ≤ e+2ef+f+de+2def+df, da d,e,f nicht negativ. das verschiebt die fallunterscheidungen auf den beweis von (1), der meistens schon erfolgt ist.

    0
  • C

    Ben04 schrieb:

    Desweiteren weißt du dass ein Produkt immer größer ist als die einzeln Faktoren.

    Echt? Das bedeutet also, daß 0.25 größer als 0.5 ist, oder wie? *scnr*

    0
  • J

    CStoll schrieb:

    Ben04 schrieb:

    Desweiteren weißt du dass ein Produkt immer größer ist als die einzeln Faktoren.

    Echt? Das bedeutet also, daß 0.25 größer als 0.5 ist, oder wie? *scnr*

    ich wiederhole nochmal den dafür relevanten Teil aus Ben04s Posting:

    d = 1 + |...|
    e = 1 + |...|
    f = 1 + |...|

    Zeig Deine Darstellung der 0.5 und 0.25. Dann lachen wir zusammen weiter. 🙂

    0
  • C

    Im Übrigen geht es mit jucks Substitution sogar ohne ausmultiplizieren:
    (d-1)/d ≤ (e-1)/e + (f-1)/f

    0 ≤ 1 + 1/e + 1/f - 1/d

    was trivialerweise wahr ist, da 1/d nie größer als 1 ist

    0
  • V

    camper schrieb:

    Im Übrigen geht es mit jucks Substitution sogar ohne ausmultiplizieren:
    (d-1)/d ≤ (e-1)/e + (f-1)/f

    0 ≤ 1 + 1/e + 1/f - 1/d
    was trivialerweise wahr ist, da 1/d nie größer als 1 ist

    verstehe den schritt zwischen deinen beiden zeilen nicht.

    aus
    (d-1)/d ≤ (e-1)/e + (f-1)/f
    komme ich nur auf
    0 <= 1 +1/d -1/e -1/f

    0
  • C

    volkard schrieb:

    camper schrieb:

    Im Übrigen geht es mit jucks Substitution sogar ohne ausmultiplizieren:
    (d-1)/d ≤ (e-1)/e + (f-1)/f

    0 ≤ 1 + 1/e + 1/f - 1/d
    was trivialerweise wahr ist, da 1/d nie größer als 1 ist

    verstehe den schritt zwischen deinen beiden zeilen nicht.

    ich auch nicht. muss am wetter liegen... bei der hitze trocknet das hirn aus...

    0
Anmelden zum Antworten