Referat über Differentialgeometrie

Jester

Ich denke parametrisierte Kurven und FLächen kann man schon ansprechen. Ich hatte dazu sogar mal ein Skript... aber ich hab keine Ahnung wo das ist.

ness

mathman schrieb:

er hätte davon mal gehört und das würde wohl ganz gut als exkurs zur vektorrechnung passen.

Ah, was ist denn das für ein Mathe lkurs-Lehrer?

einer, der dann hoffentlich auch nix merkt, wenn ich was falsch erzähle

also, wenn jemand noch was zu diffgeo hat: ich freu mich
was ganz ganz grobes über die moderne wär vielleicht auch nicht schlecht, damit ich erklären kann was da allgemein gemacht wird, ohne was vorzurechnen o.ä.

Danke an alle, die sich hier bemühen

Jester

Den Unterschied zur Moderne kann man vergleichsweise einfach darstellen:

Nimm Dir mal nen Torus. Wenn Du den so wie man's eben in der Differentialgeometrie klassisch als Punktmenge im R^3 parametrisiert, dann hat man ein 2-dimensionales Objekt im 3-dimensionalen Raum. Bei vielen Definitionen, die man da so tätigt benutzt man auch gerne den 3-dimensionalen Raum der außenrumliegt. Es ist aber die Frage, ob das so toll ist. Was wäre wenn man lieber in den 4-dimensionalen Raum geht, oder in nen ganz anderen? Oder ne andere Einbettung wählt, kommt dann was anderes raus? Das möchte man ja eigentlich nicht wirklich haben.

In der riemannschen Geometrie sieht man deshalb davon ab, die Dinger in den R^n einzubetten und arbeitet intrinsisch, also nur mit Begriffen, die auch jemand definieren kann, der auf dem Objekt lebt und keine zusätzlichen Dimensionen kennt. Während man klassischerweise also von außen draufschaut sitzt man modern gesehen quasi mittendrin. Das hat allerdings den Nachteil, dass einige Begriffe sehr schwierig werden und man sich bei einigen Begriffen erstmal viel Gedanken machen muß, wie man sie überhaupt vernünftig definieren kann. Krümmung wäre da ein Beispiel.

hey, jester, du kannst echt gut erklären, danke!
habe aber dennoch ein paar fragen:

ich hab mir mal den artikel auf wikipedia zu riemannschen mannigfaltigkeiten durchgelesen (http://de.wikipedia.org/wiki/Riemannsche_Mannigfaltigkeit)
und verstehe nicht, was ich denn nun, in dem beispiel, von den partiellen ableitungen habe bzw. was mir die bringen und wie ich auf die riemansche metrik komme, die daraus folgen soll. wär schön, wenn mir das noch wer erklären könnte, dann könnte ich nen kleinen ausblick auf die moderne differentialgeometrie geben.

so wie ich das sehe, wird doch auch keine halb-vollkugel sondern nur der rand einer halbkugel im beispiel beschrieben. ist das richtig? ich verstehe nicht ganz warum diese darstllung intrinsisch ist, denn hier wird doch auch auf den IR^3 abgebildet. und auf einer 2-mannigfaltigkeit (hier S^2) "kennt" man doch bloß 2 dimensionen, oder nicht?

Mr.Fister

Erstmal zum Beispiel:
1. Der Mathematiker versteht unter einer Sphäre (speziell Kugel oder Kreis, je nach Dimension) immer alle Vektoren, die die gleiche Länge haben. Also meint man mit "Kugel" immer die zweidimensionale Oberfläche einer Kugel.
2. Der "Nordpol" (genauso wie der "Äquator") ist hier kein Teil der Mannigfaltigkeit, das sollte man in dem Artikel vielleicht anmerken.
3. Wie du schon erkannt hast, ist das in Wirklichkeit auch nur eine Untermannigfaltigkeit des R^3. Man kann sowieso jede Mannigfaltigkeit in den R^n einbetten, sodass sie zur Untermannigfaltigkeit wird.

Die partiellen Ableitungen stellen anschaulich zwei orthogonal aufeinanderstehenden Tangentialvektoren an einem Punkt (phi,theta) der Mfkt. dar.
Den Tangentialraum (das heißt die Menge aller Tangentialvektoren) an diesem Punkt kann man sich als Ebene vorstellen, die an diesem Punkt angeheftet ist. Diese Ebene identifiziert man auf natürliche Weise mit dem R^2.
Auf diesem ist das euklidische Skalarprodukt definiert. Man schreibt es oft mit spitzen Klammern: <·,·>
Wenn man nun eine Metrik wie in diesem Artikel angibt, erfüllt sie die Bedingungen für eine riemannsche Metrik.

Das versetzt einen in die Lage, Abstände auf der Kugel zu messen. Auf der Erde misst man schließlich Abstände im globalen Maßstab auch nicht durch "Luftlinie" (bzw. Erdlinie, denn sie würde ja durch den Globus durchgehen), sondern durch den eindeutigen Großkreis, der durch zwei Punkte geht. Das dürfte äquivalent zu obiger Definition sein.
Man kann ja, wenn man die Entfernung Berlin-Peking messen will, immer 1km in die entsprechende Richtung gehen und sich diesen 1km notieren, anstatt Berlin-Peking durch eine Gerade zu verbinden.
Wenn man die notierten Kilometer aufsummiert, entspricht das recht genau dem Integral über obige Metrik. An jeder Stelle ist die Metrik anders, aber wenn man 'nicht so genau hinschaut' sieht die Erdoberfläche aus wie der R^2, wo wir eine Metrik haben. So müssen wir eben sehr oft sehr kleine Abstände aufaddieren, was nicht anderes ist als das Integral.

Gast++

-"Nabla"-Operator wär ein Stichwort; das ist ein umgekehrtes grosses Dreieck.

Machen wir's mal kartesisch:
(polar sieht's deutlich fieser aus)

Sei

f: |R^3 -> |R
F: |R^3-> -> |R^3 (F_x(x,y,z),F_y(x,y,z),F_z(x,y,z))

Nabla := (d/dx,d/dy,d/dz)

Nabla f -> (df/dx,df/dy,df/dz) elem |R^3
also die drei partiellen Ableitungen einr Skalarwerigen Funktion über dem |R^3 in einem Vektor.
Nennt sich auch Gradient grad und "macht" z.B. aus Potentialen Vektoren (also Kräfte)
Steht soweit ich das erinnere semkrecht auf Tangentialflächen (!)

(Nabla * Nabla) f -> (d²f/dx²,d²f/dx²,d²f/dx²)
also der Vektor mit den zweiten Ableitungen von f nannt sich auch "Laplace Operator" (Ein einfaches grosses Dreieck)

Nable * F -> <Nabla,F> -> (dF_x/dx,dF_y/dy,dF_z/dz)
Nennt sich auch Divergenz div.

Nabla x F (Kreuzprodukt) nennt sich auch Rotation rot. Kannste ja mal ausmultiplizieren.

(Das sind formale Operationen; einige Mathematiker mögen das nicht; es kommt aber das richtige raus)

- Kettenregel fürs Diffenzieren gilt sinngemäss auch bei Analysis im R^n; siht dann nur ein wenig anders aus z.B.

Ableitungsmatrix * grad

o.ae.

Btw ein echt heftiges Thema für 12II; sowa macht man eigentlich, wenn überhaupt, nach Linearer Algbra, Analysis im R^n und Funktionentheorie (Analysis über |C) kurz vorm Vordiplom oder kurz danach.

Viel Erfolg!

Grüsse

*this

hallo, danke für die antworten.
aber wie sieht denn nun eine intrinsische darstellung einer riemannschen mannigfaltikeit aus? muss da mit den karten arbeiten? davon, wie man mit denen arbeitet, hab ich nämlich echt kein plan -.- dann werd ich die intrinsische darstellung wohl weglassen müssen, wollte ja eh mehr im bereich der klassischen diffgeo. machen

@Gast++: danke für die umfangreiche darstellung, aber, ehrlich gesagt, weiß ich nicht so recht was ich damit anfangen soll bzw. wofür ich nabla überhaupt brauche, nach wikipedia scheint es einfach eine kurzform für alle partiellen ableitungen im IR^n zu sein. mein nichtverständnis liegt sicher auch an meiner unzureichenden mathematichen bildung, sprich analysis im IR^n, partielle ableitungen, kreuzprodukt von vektoren, matrizenrechnung etc. hatten wir (noch) nicht in der schule (einiges werden wir dort natürlich auch nicht behandeln) und habe ich mir bis dato auch nicht so angeeignet, sodass ich praktisch alles mehr oder weniger im crashkurs machen muss, ohne ein tieferes verständnis dafür zu entwickeln (was evtl. von nöten ist). leider muss ich das referat morgen schon halten (ja, habs zu lange schluren lassen, ich dachte die klassische diffgeo. würde reichen, aber das mannigfaltigkeitenzeuch find ich iwie ganz interessant, wenn auch sehr schwierig :/)
Ich würde ganz gerne was von riemanns geometrie reinbringen und nicht *nur* über klassische differentialgeometrie reden, also bin noch für jeden tip/kommentar/... dankbar, werde wohl eh bis morgn früh noch daran arbeiten, sodass ein posting gar nciht zu spät sein kann

eine frage noch: was genau bedeutet das zeichen ∂ bei den partiellen ableitungen eigentlich genau?

Gast++ schrieb:

Viel Erfolg!

danke schön!

überhaupt mal ein dickes danke an alle, die mich hier so tatkräftig unterstützen!!!

Mr.Fister

Den Nablaoperator kenne ich jetzt eher aus der Vektoranalysis als aus der Diffgeo.

Dieses stilisierte d (man nennt es oft "del") steht für die partielle Ableitung.
del f(x,y) / del x heißt Ableitung von f(x,y) nach x

hi, danke. hatte mir das schon so in etwa gedacht, aber ich wollte doch ncoh mal auch nummer sicher gehen.

nochmal eine generelle frage: warum rechnet man eigtl. überhaupt mit mannigfaltigkeiten, wenn man das doch auch eigtl. alles mit parametrisierten flächen machen kann?

Mr.Fister

Zum einen gibt es noch viel mehr als Flächen, zum anderen: Wer sagt denn, dass man jede Mannigfaltigkeit parametrisieren kann?

Man möchte halt einen allgemeinen Begriff haben, sodass die Sätze eben immer gültig sind. Könnte dann ja sein, dass manche Sätze von der Parametrisierung abhängen (gibt ja immer mehr als eine).

ok, danke.
ich wollte ja nur nen guten satz haben, um von der klassischen zur modernen diffgeo. überleiten zu können ;).
naja, wird schon schief gehn, danke noch mal an alle, die mir geholfen haben.

Gast++

Nun würde ich aber auch gerne die Punktzahl wissen...

Grüsse

*this

hehe,
ich durftes zum glück nochmal verschieben, weil ich echt probleme mit der riemannschen metrik hab, bzw. wie die notation zu verstehen ist, wie man sie anwendet etc., kanns jetzt noch mal überarbeiten und alles; zum glück ist da mein lehrer echt liberal und locker drauf.

werde aber, wenn ichs gehalten habe, posten, wies gelaufen ist

noch mal ne allgemeine frage: kann ich als altlas einer mannigfaltigkeit einfach die diskrete topologie nehmen, sodass die offenen teilmengen der mfkt. die karten bilden? oder hab ich da nen denkfehler?

Mr.Fister

Du musst für einen Atlas immer Kartenabbildungen mitangeben.
In der diskreten Topologie ist jede Menge offen. Damit sind auch Mengen offen, die nur einen Punkt enthalten. Eine Bijektion von einer einpunktigen Menge in den R^n bildet immer wieder auf eine einpunktige Menge ab, die im R^n aber nie offen ist.

Von daher dürfte dein Versuch immer scheitern.

Achso, bis auf die Ausnahme der 0-dimensionalen Mannigfaltigkeit (Menge mit nur einem Punkt X={x} - da gibt es nur eine Topologie ({} und X offen) und die einzige offene Menge um x, nämlich X selbst, ist homöomorph zum R^0 = {0}.)