Frage zu Exponenten

W0lf

Hi,

ich hab in Mathe früher mal (auswendig) gelernt, dass:

$x^\frac{1}{2} = \sqrt{x}$

Mich würde aber mal interessieren, wie man das schriftlich ausrechnet.
Zum Verständnis:

$3^3 = 3 * 3 * 3$
$3^\frac{1}{2} =$ $?$

Danke schonmal

P.S: Sorry wenn das für manche trivial erscheinen mag. Das kommt davon, wenn man sich nie getraut hat vor der ganzen Klasse zu fragen

Jan

Du hast es doch schon selbst geschrieben. Es ist die Wurzel.
Macht auch Sinn, denn
x = (Wurzel x)^2 = (x^(1/2))2 = (x^(2*1/2)) = x^1 = x

Jester

Er fragt ja nicht, ob das so ist, sondern *warum*. Meines Wissens hat man's einfach so definiert. Zum einen ist die Schreibweise schön knapp und übersichtlich, zum anderen gelten auch die bekannten Rechenregeln, die Jan gezeigt hat. Das war denke ich Motivation das so zu definieren.

W0lf

Danke,

und wie sieht das bei kleineren Exponenten aus? Z.B.:

$x^-\frac{1}{3}$ ?

Vielleicht so?

\frac{1}{\sqrt[3]{x}}

Edit: Ne, das kann nicht sein.. Aber wie ist es richtig?

Jester

Doch genau, x^-1 = 1/x.

W0lf

Ich meinte aber:

x^\frac{1}{3} = \sqrt[3]{x} ??

Jester

Ja, x^\frac{p}{q} := \sqrt[q]{x^p}, x \ge 0.

Mr.Fister

Potenzfunktionen mit nicht-ganzzahligen Exponenenten sind über die Exponentialfunktion definiert:

$x^\alpha := \exp(\alpha\ln(x))$
Zusammen mit den folgenden Regeln:
exp(a+b) = exp(a)exp(b) (Funktionalgleichung)
ln(ab) = ln(a) + ln(b)
ln(a^b) = bln(a)
ergeben sich die Sachverhalte, die wir aus der Schule kennen. Da f(x)=sqrt(x) als Umkehrfunktion zu g(x)=xx definiert ist, ergibt die Definition Sinn, da $x = g(f(x)) = \sqrt{x}*\sqrt{x} = x^{1/2}\cdot x^{1/2} = \exp(x\ln(1/2)) \cdot \exp(x\ln(1/2))$ $= \exp((1/2 + 1/2) \ln x) = \exp(\ln(x)) = x$

Grossmeister

Jetzt weiß W0lf bescheid...

Jester

Nu stellt euch nicht so an. Mr. Fisters Beitrag ist doch klar und präzise geschrieben. Diese Definition hat den Vorteil, dass sie gleich beliebige positive reelle Exponenten erlaubt und nicht nur Brüche. Soviel komplizierter als die andere ist sie auch nicht.