formel fuer x^y

[etlam]

Hallo,
ich suche nach einer formel um x^y auszurechnen.
Wenn y nur 1,2,3... waere, koennte ich ja einfach so oft x mit sich selbst mal nehmen.
Aber was, wenn y 4.246 ist?

Vielen Dank schonmal im vor-raus,
etlam

[CStoll]

Versuch's mal damit (die Potenz wurde zunächst für natürliche Zahlen als 'x^y = x*x*...*x (y Faktoren) definiert, dann auf rationele Zahlen erweitert x^a/b = b-te Wurzel von x^a und schließlich für reelle Zahlen stetig ergänzt)

[Jester]

Oder eben über den Logarithmus definiert. -- Viele Wege führen nach Rom.

[Gast]

Es wird deutlich, wenn du die Potenz als Bruch schreibst, also
x^{\frac{4246}{1000}} = \sqrt[1000]{x^{4246}}

[CStoll]

Jester schrieb:

Oder eben über den Logarithmus definiert. -- Viele Wege führen nach Rom.

Das kann man sehen, wie man will - ich bin bisher davon ausgegangen, daß der Logarithmus als Umkehrung der Potenz definiert ist (und da drehst du dich im Kreis, wenn du die Potenz über den Logarithmus definierst).

[Jester]

Den Logarithmus kann ich als Umkehrung der Exponentialfunktion definieren. Und die wiederum über die Reihe über x^n/n!. Dafür braucht man aber nur natürliche Zahlen im Exponenten. Das ist also eine durchaus mögliche Alternative.

[Mr.Fister]

Und auch die bessere. CStoll hat bei y=sqrt(2) oder y=pi oder y=e oder y=i oder oder... ein Problem

[Daniel E.]

Jester schrieb:

Den Logarithmus kann ich als Umkehrung der Exponentialfunktion definieren.

Oder direkt über die Stammfunktion von 1/x.

[Jester]

Mr.Fister schrieb:

Und auch die bessere. CStoll hat bei y=sqrt(2) oder y=pi oder y=e oder y=i oder oder... ein Problem

Ne, er hat ja gesagt er setzt stetig fort. Da er auf ner dichten Teilmenge definiert hat ist die Fortsetzung eindeutig.

@DanielE: Auch ne Möglichkeit. Außerdem gibt's noch ne Reihenentwicklung...

[ghorst]

Jester schrieb:

Außerdem gibt's noch ne Reihenentwicklung...

die man benutzen sollte, wenn man an einem sinnvollen ergebnis interessiert ist... mal ehrlich: für die anderen vorgeschlagenen wege verwendete man entweder auch eine reihenentwicklung wie wurzel und logarithmus oder sie sind wie die numerischen integration oder differentation einfach nur schlecht.

[CStoll]

@Jester: Das sind zwei Wege, die von einer anderen Voraussetzung ausgehen.

Die eine Richtung ("meine") ist die Definition der Potenz - ausgehend von der Definition bei natürlichen Zahlen (wiederholte Multiplikation) wird versucht, die Potenzfunktion in einer Art auf größere Zahlenbereiche auszudehnen, daß die Grundrechenregeln erhalten bleiben. Wenn ich x^[e]pi[/e] auf diese Weise bestimmen will, nehme ich mir eine Intervallschachtelung für π und kann mir mit deren Hilf jeden Wert ermitteln, den ich brauche.

Die andere Richtung ("deine") ist die praktische Berechenbarkeit. Wir definieren uns den Logarithmus und die Exponentialfunktion als Reihenentwicklungen (oder auch als ∫1/x bzw. die Lösung der DGL f'(x)=f(x)) und haben damit eine Formel, die wir tatsächlich einem Computer vorsetzen können.

(und die echten Mathematiker würden vermutlich noch beweisen, daß beide Lösungswege zurt selben Funktion führen :D)

[ghorst]

naja. das problem an dem weg der stetigen überführung von ganzen zahlen zu den reelen zahl ist, das danach kein übergang zu den komplexen zahlen möglich ist. hier ist die taylor-reihe deutlich im vorteil, da sie auch die expontialfunktion für komplexe zahlen mit umfasst.
http://de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe#Exponentialfunktionen_und_Logarithmen

[Jester]

ghorst schrieb:

naja. das problem an dem weg der stetigen überführung von ganzen zahlen zu den reelen zahl ist, das danach kein übergang zu den komplexen zahlen möglich ist. hier ist die taylor-reihe deutlich im vorteil, da sie auch die expontialfunktion für komplexe zahlen mit umfasst.
http://de.wikipedia.org/wiki/Taylorreihe#Exponentialfunktionen_und_Logarithmen

Das stimmt so nicht wirklich. Die Funktion ist auf einer nicht diskreten Teilmenge von C definiert. Damit ist die holomorphe Fortsetzung eindeutig.

@CStoll: Ich sagte doch, es gibt viele Möglichkeiten... wobei ich Deiner Analyse nicht zustimme. Bei dem was ich betrachte geht es genausowenig um praktische Berechenbarkeit. Es wird genauso versucht den Potenzbegriff auf reelle Zahlen zu erweitern. Aber eben nicht N -> Z -> Q -> R sondern eben direkt N->R mit Hilfe zweier Funktion, nämlich der Exponential- und der Logarithmusfunktion.

[ghorst]

Jester schrieb:

Das stimmt so nicht wirklich. Die Funktion ist auf einer nicht diskreten Teilmenge von C definiert. Damit ist die holomorphe Fortsetzung eindeutig.

kannst du mir den trick mit der erweiterung über eine holomorphe fortsetzung mal zeigen, da ich keinen plan habe, wie du den sinnvoll durchführen willst.

[Christoph]

ghorst schrieb:

Jester schrieb:

Das stimmt so nicht wirklich. Die Funktion ist auf einer nicht diskreten Teilmenge von C definiert. Damit ist die holomorphe Fortsetzung eindeutig.

kannst du mir den trick mit der erweiterung über eine holomorphe fortsetzung mal zeigen, da ich keinen plan habe, wie du den sinnvoll durchführen willst.

Man kann zeigen, dass eine holomorphe Funktion auf einem zusammenhängenden Gebiet eindeutig bestimmt ist, wenn man nur die Werte auf einer unendlichen Menge mit mindestens einem Häufungspunkt vorgibt (heißt auch Identitätssatz).
Die Menge der reellen Zahlen ist unendlich groß und hat einen Häufungspunkt, das heißt es gibt für jede reelle Funktion höchstens eine holomorphe Fortsetzung in die komplexen Zahlen. Wenn man z.B. die relle Exponentialfunktion hat, hat man nur eine Möglichkeit diese in die komplexen Zahlen so fortzusetzen, das etwas Holomorphes herauskommt.

Wie man das aber numerisch ausnutzen könnte, weiß ich nicht. Ich habe noch keinen konstruktiven Beweis für den Identitätssatz gesehen.

[ghorst]

Christoph schrieb:

Man kann zeigen, dass eine holomorphe Funktion auf einem zusammenhängenden Gebiet eindeutig bestimmt ist, wenn man nur die Werte auf einer unendlichen Menge mit mindestens einem Häufungspunkt vorgibt (heißt auch Identitätssatz).
Die Menge der reellen Zahlen ist unendlich groß und hat einen Häufungspunkt, das heißt es gibt für jede reelle Funktion höchstens eine holomorphe Fortsetzung in die komplexen Zahlen. Wenn man z.B. die relle Exponentialfunktion hat, hat man nur eine Möglichkeit diese in die komplexen Zahlen so fortzusetzen, das etwas Holomorphes herauskommt.

verstehe ich das richtig: der unendlichkeit der menge der reelen zahlen folgert man dann die übertragkeit auf die komplexen zahlen, die zwar mengenmäßig unendlich ist aber leider ein anderes unendlich darstellen?

Christoph schrieb:

Wie man das aber numerisch ausnutzen könnte, weiß ich nicht.

spontan würde ich sagen: das lässt sich gar nicht nutzen.
außer der reihenentwicklung hat man wenig chancen in der numerik.

[Christoph]

ghorst schrieb:

Christoph schrieb:

Man kann zeigen, dass eine holomorphe Funktion auf einem zusammenhängenden Gebiet eindeutig bestimmt ist, wenn man nur die Werte auf einer unendlichen Menge mit mindestens einem Häufungspunkt vorgibt (heißt auch Identitätssatz).
Die Menge der reellen Zahlen ist unendlich groß und hat einen Häufungspunkt, das heißt es gibt für jede reelle Funktion höchstens eine holomorphe Fortsetzung in die komplexen Zahlen. Wenn man z.B. die relle Exponentialfunktion hat, hat man nur eine Möglichkeit diese in die komplexen Zahlen so fortzusetzen, das etwas Holomorphes herauskommt.

verstehe ich das richtig: der unendlichkeit der menge der reelen zahlen folgert man dann die übertragkeit auf die komplexen zahlen, die zwar mengenmäßig unendlich ist aber leider ein anderes unendlich darstellen?

Nicht ganz. Die komplexen Zahlen haben die gleiche "Unendlichkeit" wie die reellen, genauer: die gleiche Kardinalität.

Das "unendlich groß" kannst du aus meinem Argument auch streichen, denk ich. Jedenfalls solange du als Gebiet ganz $\mathbb C$ nimmst und damit nicht irgendwelche Randfälle hast. Denn die Menge G = { x | f(x) = g(x) } hat nach Voraussetzung einen Häufungspunkt in $\mathbb C$, woraus schon folgt, dass G unendlich groß ist.

[Jester]

Christoph schrieb:

Wie man das aber numerisch ausnutzen könnte, weiß ich nicht. Ich habe noch keinen konstruktiven Beweis für den Identitätssatz gesehen.

Naja, in dem Fall geht das ja. Man weiß ja auch, dass die Reihenentwicklung die gleiche ist. Und da die überall konvergiert kriegt man genau die richtige Fortsetzung.

Außerdem ist der Beweis doch recht konstruktiv... Du nimmst zwei holomorphe Funktionen, betrachtest deren reihenentwicklung und zeigst, dass die koeffizienten alle gleich sind.

[ghorst]

ah gut. wie das über die reihenentwicklung geht, weiß ich. ich dachte, du meinst eine fortsetzung ohne die nutzung einer reihenentwicklung.

[Christoph]

Jester schrieb:

Außerdem ist der Beweis doch recht konstruktiv... Du nimmst zwei holomorphe Funktionen, betrachtest deren reihenentwicklung und zeigst, dass die koeffizienten alle gleich sind.

Ich hab bei meinem Posting an einen Beweis gedacht, bei dem an einer Stelle ein nicht-konstruktiver Schritt vorgenommen wird: "Angenommen die n-te Ableitung von f und g stimmen am Punkt c nicht überein, ...".

Wie würde das konstruktiv aussehen?