Komplexezahlen die Im(z^2)=|z|^2 erfüllen

Marcin

Hallo
Ich habe hier folgende Aufgabe:

Aufgabe schrieb:

Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil derjenigen komplexen Zahlen z = x + jy, welche die Gleichung Im(z^2) = |z|^2 - 1 erfüllen.
Skizzieren Sie die Lösungsmenge in der Gaußschen Zahlenebene.

Leider habe ich keinen Schimmer wie wie man die Aufgabe lösen kann. Ich habe versuch irgendeinen Ansatz darin zu finden, dass z * z* = z^2. Leider ergebnislos.
Kann mir jemand sagen wie man diese Aufgabe löst ?

Wäre über jede Hilfe dankbar.

Mr.Fister

Einfach z=x+yi einsetzen und nach y auflösen. Das gibt dann vermutlich eine Funktion in Abhängigkeit von x, womit man eine normale Kurvendiskussion machen kann.

Marcin

Danke für die Antwort.
Leider kann ich damit nichts anfangen.
Einfach z=x+yi einsetzen ? Wo ?
Nach y auflösen ? z ist doch keine Funktion.

Mr.Fister

Na in die Gleichung natürlich. Das gibt dann halt sowas wie y = x^2-1 oder was weiß ich. Und das kann man ganz normal als Kurve diskutieren.

ghorst

Mr.Fister hat schon den richtigen ansatz geliefert:
$Im((x+jy)^2) = \left( \sqrt{x^2+y^2} \right)^2 - 1$
$Im(x^2+2jxy - y^2) = x^2+y^2 - 1$
$2xy = x^2+y^2-1$
$1 = (x-y)^2$
$y = x \pm 1$
(jetzt hoffe ich mal, dass ich mich nicht verrechnet habe.)
das kannst du jetzt recht einfach als zwei gerade in deine zahlenebene malen.

Marcin

Ich bedanke mich für die Antwort.
ghorst, zu deiner lösung kann ich nur sagen: wirklich einfach so wird das gelöst ?
Es erstaunt mich schon sehr, dass man die binomische Formel auf die Komplexezahl einfach anwenden soll. Selbst wäre ich darauf nicht gekommen, naja ich habe wenig Ahnung von Mathematik.
Ich bedanke mich für die Hilfe.

JimmydaMage

Du kannst mit komplexen Zahlen genauso rechnen wie mit normalen Termen, musst aber beachten, dass i^2=-1

Grüße,

Martin

ghorst

im prinzip hat JimmydaMage schon recht: du kannst damit rechnen wie sonst auch, nur kommt dann noch der spaß hinzu, dass man sie einfach zwischen eulersche normalenform, der polarform und der kartesischen form umwandeln kann, was zu einigen sehr netten vereinfachungen führt, aber auch einige herleitung, die sich mit dem prädikat trivial schmücken, äußerst unverständlich machen, wenn man an die umwandlungen nicht gewohnt ist.

ansonsten die binomischen formeln passen immer, da die definition von potenzen und multiplikationen stets erhalten bleibt. wobei bei den komplexen zahlen eigentlich noch eine binomische formel dazu kommt: x^2+y2=(x-jy)(x+jy)

ansonsten: da du das j anstelle des i benutzt hast, denke ich mal, dass du irgendwie eine nähere beziehung zur e-technik hast. daher kann ich dir sagen, dass man sich an den spaß mit komplexen zahlen gewöhnt. wenn man es einige zeit betrieben hat, erkennt man die möglichen subsitutionen.

scrub

ghorst schrieb:

ansonsten die binomischen formeln passen immer, da die definition von potenzen und multiplikationen stets erhalten bleibt. wobei bei den komplexen zahlen eigentlich noch eine binomische formel dazu kommt: x^2+y2=(x-jy)(x+jy)

Ein etwas verwirrender Tip. Diese "neue" Formel ist einfach die alte, wenn man j^2 = -1 berücksichtigt. Natürlich ändert sich auch bei den anderen zwei Formeln das Vorzeichen.

ghorst: Verwendest Du etwa i anstelle von j?

ghorst

wenn du das berücksichtigst: ja. allerdings kann man dann auch gleich auf die anderen formeln verzichten, da sie nichts beschreiben, was nicht eh offensichtlich ist. ansonsten erinnere ich mich dumpf daran, dass viele meiner kommilitonen vor dieser gleichung und insbesondere den rechentricks des profs standen und sie schlicht nicht verstanden haben. was in der e-technik ein bisschen tragisch ist.

achia: jch verwechsele dje bejden jmmer.
spaß bei seite: ist ein reflex, wenn man zu oft $j\omega$ geschrieben hat.