Aufgabe a ok, b nicht

Guten Tag, leibe Mathefreunde oder die, die etwas von Extremwertproblemen verstehen; Wir haben gestern im Unterricht mit Extremwertproblemen angefangen und mich interessiert das sehr. Deshalb habe ich mir gleich mal folgende Aufgabe herausgesucht, wobei ich Aufgabe (a) lösen könnte, die (b) aber der Ansatz fehlt:

Aufgabe: Der Grap der Funktion f(x) = 1/5 * sqrt( 225-9x² ) ist die Hälfte einer Ellipse (der Taschenrechner zeigt: die obere Hälfte, spielt aber keine Rolle), deren Mittelpunkt im Koordinatenursprung liegt.
(a) Ein Rechteck soll so einbeschrieben werden, dass eine Seite der auf der x-Achse liegt. Ermitteln Sie die Seitenlängen des Rechtecks, das maximalen Flächeninhalt hat.
(b) Ein gleichschenkliges Trapez soll so einbeschrieben werden, dass eine der parallelen Seiten auf der x-Achse liegt. Bestimmen Sie die mapße der Seitenlängen des Trapezes, das maximalen Flächeninhalt hat!

Ihr seht, der einzige Unterschied ist, dass es einmal um ein Rechteck; das andere Mal um ein Trapez handelt. Hier aber erstmal meine Lösung für (a), was ich einfacher finde:

f(x) = 1/5 * sqrt( 225-9x² )

A->maximal
A=xy // jetzt in x die Funktionsgleichung f(x) einsetzen
A=(x²/5)(225-9x²)^1/2 = (x²/5)*(15-3x)
A(x)=3x²-(3/5)*x³
A'(x)=6x-(9/5)*x²=0
x=30/9

Damit hat man dann die Lösung für die eine Seitenlänge. Die andere kriegt man heraus, indem man einfach in die Funktionsgleichung f(x) einsetzt.

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Wie gehe ich jetzt bei (b) heran? Lösungen gibt unser Buch zum Glück schon als Vergleichsmittel mit an, die da wären: a= sqrt(13); b=10; c=5

Könnt Ihr mir da nicht helfen beim zweiten Teil der Aufgabe, Teil b also?

Gary

Spontan fällt mir nur ein, dass du vom Trapez a kennst (weil es auf der x-Achse liegt):
a ist nämlich 2x die x-Koordinate der positiven Nullstelle (quasi die doppelte Länge der längeren Halbachse der Ellipse)
Die Volumsformel des Trapezes ist:
A = (a+c)*h/2
wobei c = x (die x-Variable, die du auch beim Rechteck hattest)
und h = y (die y-Variable, die du auch beim Rechteck hattest)
du hast somit eine Formel mit zwei Variablen, diese setzt du Maximum. Die Nebenbedingung ist wie beim ersten Beispiel die Kurvengleichung.
Hoffe, ich konnte dir helfen.
<edit> Wegen deinen Lösungen musste eine Variable anders benennen:
a = 10 (in der Lösung Variable b)

[ Dieser Beitrag wurde am 03.02.2003 um 19:25 Uhr von Gary editiert. ]

In der a hast du schon einen Fehler:

(225-9x²)^1/2 = (15-3x)
ist falsch.

(225 - 9)^1/2 = 216^1/2 = 14.696 != 12 = (15-3) = 225^1/2 - 9^1/2

Also
(a+b)^1/2 != a^1/2 + b^1/2

Das darfst du nur für Multiplikation und Division.

Dein Ansatz für die a gefällt mir irgendwie auch nicht.
Ich würde es jedenfalls mit dieser Flächenfunktion machen.

A(x) = 2*x * 1/5*(225-9x²⁾1/2 = 2/5 * x * (225-9x²⁾1/2

Produktregel: (uv)' = u'v+v'u
u = 2/5 x
u'= 2/5
v = (225-9x²⁾1/2
v'= -1/2(225-9x²⁾-1/2 * 18x
Also
A'(x) = 2/5 * (225-9x²⁾1/2 - 1/2(225-9x²⁾-1/2*18*x * 2/5*x
= 2/5 * (225-9x²⁾1/2 - 18/5*x^2*1/(225-9x2)^1/2

A'(x) = 0
<=>
2/5 * (225-9x²⁾1/2 - 18/5*x^2*1/(225-9x2)^1/2 = 0 | (225-9x²⁾1/2
2/5 * (225-9x^2) - 18/5x^2 = 0
90 - 18/5*x^2 - 18/5*x^2 = 0
-36/5*x^2 + 90 = 0

ax²+bx+x <=> x1/2 = (-b +- (b²-4ac)^1/2 )/ 2a

=>
( 0 +- (0²-4*(-36/5)*90 )/(2*(-36/5))
= +-(2592)^1/2 / (-14.4)

=>
x1 = -3.535533906
x2 = 3.535533906

Hoffe das stimmt.

Vielleicht findest du jetzt einen Ansatz für b
Wenn nicht probier ichs morgen vielleicht mal...

Gruß space (pwd wiedergefunden ;))

[ Dieser Beitrag wurde am 03.02.2003 um 20:15 Uhr von space editiert. ]

WebFritzi

Zeichne dir die Halbellipse auf und setze dir irgendwo rechts von 0 eine Stelle x hin. Zeichne rechts daneben eine weitere Stelle y, so dass 0 < x < y <= 5. Zeichne jetzt eine Senkrechte von der Stelle x (auf der x-Achse) bis du auf die Funktion stößt. Markiere diese Stelle. Zeichne eine weitere Strecke von y zu diesem Punkt. y soll jetzt die rechte untere Ecke des Trapezes markieren. (x | f(x)) soll die obere rechte Ecke sein. Dann ist der Flächeninhalt

A(x,y) = 2 * x * f(x) + (y - x) * f(x) = x * f(x) + y * f(x)

Stelle dir jetzt x fest vor. Der flächeninhalt wird offensichtlich immer größer je größer y ist. D.h. y muss 5 sein! Nun kannst du ganz normal weitermachen mit

A(x) = (x + 5) * f(x).