4. Taylor Formel

Taylor Formel

  • H

    Erstmal Danke für die Antwort.

    Nun frage ich mich wie aus

    Tn(x):=f(0)0!+f′(0)x1!+f′′(0)x22!+f′′′(0)x33!T_n(x) := \frac{f(0)}{0!} + \frac{f'(0) x}{1!} + \frac{f''(0) x^2}{2!} + \frac{f'''(0) x^3}{3!}

    T3,sin(x)=x−x36T_3,sin(x) = x-\frac{x^3}{6}

    wird.

    Und was bedeutet 3! das Ausrufezeichen.

    0
  • ?

    hermes schrieb:

    Und was bedeutet 3! das Ausrufezeichen.

    Fakultät.

    Die Fakultät ist eine Abbildung von den natürlichen in die natürlchen Zahlen, und wie folgt definiert. 
[latex] x! := \left\{ \begin{array}{ll}
 1 & \textrm{falls } x = 0 \\
 x \cdot (x - 1)! & \textrm{sonst}
\end{array} \right.
[/latex]

Bedeutet für x = 3: [latex]3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1[/latex]
Bedeutet für x = 5: [latex]5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1[/latex]
    0
  • H

    ProgChild schrieb:

    hermes schrieb:

    Und was bedeutet 3! das Ausrufezeichen.

    Fakultät.

    Die Fakultät ist eine Abbildung von den natürlichen in die natürlchen Zahlen, und wie folgt definiert. 
[latex] x! := \left\{ \begin{array}{ll}
 1 & \textrm{falls } x = 0 \\
 x \cdot (x - 1)! & \textrm{sonst}
\end{array} \right.
[/latex]

Bedeutet für x = 3: [latex]3! = 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1[/latex]
Bedeutet für x = 5: [latex]5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 1[/latex]

    Alles klar, wusste ich nicht.

    rüdiger schrieb:

    sinx=∑n=0∞x2n+1(2n+1)!(−1)n\sin x \, = \, \sum^{\infty}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}(-1)^n

    Ich Versuche das mal, sieht irgenwie vertrauter aus wie

    Tn(x):=f(0)0!+f′(0)x1!+f′′(0)x22!+f′′′(0)x33!T_n(x) := \frac{f(0)}{0!} + \frac{f'(0) x}{1!} + \frac{f''(0) x^2}{2!} + \frac{f'''(0) x^3}{3!}

    Das müsste doch eigentlich gehen
    sinx=∑n=03x2n+1(2n+1)!(−1)n\sin x \, = \, \sum^{3}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}(-1)^n

    0
  • J

    ja, das geht auch. und liefert genau das gleiche.

    0
  • H

    Habe es mit Exel mal durchgespielt, einen sin bis PI gerechnet
    und die Werte sind exakt gleich.

    T3,sin(x) = x-(x^3/6) ist nur bis c.a. PI/4 genau verstehe ich nicht
    ich dachte
    sinx=∑n=03x2n+1(2n+1)!(−1)n\sin x \, = \, \sum^{3}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}(-1)^n
    ist das Gleiche.

    0
  • J

    ne, das gleiche isses nicht. nur ungefähr gleich in der nähe von 0. umso meh terme du nimmst umso genauer ist es.

    0
  • H

    sinx=∑n=03x2n+1(2n+1)!(−1)n\sin x \, = \, \sum^{3}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}(-1)^n

    sinx=x−x36+x5120−x75040\sin x \, = x- \frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\frac{x^7}{5040}

    Dann ist

    sinx=x−x36\sin x \, = x- \frac{x^3}{6}

    doch kein Taylor-Polynom 3 Grades sondern 1 Grades

    0
  • ?

    hermes schrieb:

    sinx=∑n=03x2n+1(2n+1)!(−1)n\sin x \, = \, \sum^{3}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}(-1)^n

    sinx=x−x36+x5120−x75040\sin x \, = x- \frac{x^3}{6}+\frac{x^5}{120}-\frac{x^7}{5040}

    Dann ist

    sinx=x−x36\sin x \, = x- \frac{x^3}{6}

    doch kein Taylor-Polynom 3 Grades sondern 1 Grades

    Naja... der Grad des Polynoms ist ja schon 3. Daraus würd ich mal folgern, dass es nicht ganz so leicht geht und man die Taylor-Formel benutzen muss...

    0
  • L

    Das Taylorpolynom i-ten Grades ist dann einfach:
    ∑n=0⌊i−12⌋x2n+1(2n+1)!(−1)n\sum^{\left\lfloor \frac{i-1}{2} \right\rfloor}_{n=0} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}(-1)^n

    0
  • P

    allgemein ist die Taylorreihe
    ∑n=0∞f(n)(x_0)(x−x_0)nn!\sum_{n=0}^\infty\frac{f^{(n)}(x\_0)(x-x\_0)^n}{n!}, wobei f(n) die n-te Ableitung von f sein soll. Wenn man x0 = 0 setzt, ergibt sich beim Sinus bei jeder geraden Ableitung ein sin(0) = 0, weshalb diese rausfaellt. Zusammengefasst ergibt das die obige Formel T(2m+1),sin(x)=∑i=0mx2i+1(−1)i(2i+1)!T_{(2m+1),\sin(x)} = \sum_{i=0}^m\frac{x^{2i+1}(-1)^i}{(2i+1)!}
    Wenn du in die erste allgemeine Formel die ersten 5 Ableitungen von sin einsetzt mit x0 = 0, wirst du selbst sehn welche Terme uebrig bleiben. Kleine Hilfe:
    1! = 1; 2! = 2; 3! = 6; 4! = 24; 5! = 120

    Du wirst dann sehn, dass die ersten 5 Terme aus der ersten Formel beim SInus nur die ersten 3 terme der zweiten Formel sind - der zweite und 4te Term fallen weg.

    0
  • .

    pumuckl schrieb:

    ergibt sich beim Sinus bei jeder geraden Ableitung ein sin(0) = 0

    Izz... Bitte korrigieren.

    0
  • ?

    pumuckl schrieb:

    Kleine Hilfe:
    1! = 1; 2! = 2; 3! = 6; 4! = 24; 5! = 60

    Wenn 4! = 24, dann ist 5! = 5 * 4! = 5 * 24 = 120 🙄

    0
  • P

    ProgChild schrieb:

    pumuckl schrieb:

    Kleine Hilfe:
    1! = 1; 2! = 2; 3! = 6; 4! = 24; 5! = 60

    Wenn 4! = 24, dann ist 5! = 5 * 4! = 5 * 24 = 120 🙄

    Sry - korrigiert.

    .filmor schrieb:

    pumuckl schrieb:

    ergibt sich beim Sinus bei jeder geraden Ableitung ein sin(0) = 0

    Izz... Bitte korrigieren.

    Und was gibts da zu korrigieren? sin(0) ist nunmal 0. Und die geraden Ableitungen (also Nullte, zweite, vierte...) vom sinus sind +/- sin.

    0
  • ?

    pumuckl schrieb:

    .filmor schrieb:

    pumuckl schrieb:

    ergibt sich beim Sinus bei jeder geraden Ableitung ein sin(0) = 0

    Izz... Bitte korrigieren.

    Und was gibts da zu korrigieren? sin(0) ist nunmal 0. Und die geraden Ableitungen (also Nullte, zweite, vierte...) vom sinus sind +/- sin.

    Ich würde das nur ein bisschen anders schreiben. So ists ein bissel missverständlich.

    So ist ein bisschen besser

    [latex]sin^{(\alpha)} (0) = 0 \textrm{ fuer } \alpha = 0, 2, 4, \dots[/latex]

    Dabei ist die α\alpha-te Ableitung

    [latex]sin^{(\alpha)}[/latex]
    0
  • J

    ProgChild schrieb:

    Dabei ist die α\alpha-te Ableitung

    [latex]sin^{(\alpha)}[/latex]

    Wenn schon besser, dann hier auch noch umdrehen: Dabei bezeichnet sin^(\alpha) ist die \alpha-te Ableitung. So sieht es aus, als würdest Du die alpha-te Ableitung über die andere Notation definieren...

    Ansonsten finde ich, dass vorher auch schon recht klar was, was gemeint ist.

    0
Anmelden zum Antworten