Mathe

Hallo,

ich suche einen Beweis,
dass eine nicht abelsche Gruppe mindestens 6 Elemente haben muß!

Jester

Naja, fangen wir halt mal an:

|G|=1 => G ist triviale Gruppe
|G|=p mit p prim => G ist zyklisch (also isomorph zu Z/pZ) und damit insbesondere abelsch.

Damit haben wir die Fälle 1,2,3,5 erledigt. Für 6 Elemente gibts die S3 (symmetrische Gruppe) die ist nicht abelsch und somit gibt es ab 6 Elementen auch nichtabelsche Gruppen. Das war aber garnicht zu zeigen.

Übrig bleibt uns jedenfalls noch die 4.

Okay, sei G={e,a,b,c} mit e neutral.
Fällt jemand hier was elegantes ein? Möglicherweise mit Kompositionsreichen.

Okay, ich mach's hier halt mal altmodisch:

e ist sowieso mit allem vertauschbar

was kann a*a sein?

1.Fall:

a*a = e, also a selbstinvers, betrachte: a*b

ab != e, da sonst a=b
ab != a, da sonst b=e
ab != b, da sonst a=e
=>a*b=c |*a (von links)
=>b=ac

analog wie oben:
b*a = c |*a (v.r.)
=>b = c*a

betrachte jetzt:
b*c = (c*a)*c = c*(a*c) = c*b

okay, also dann Gruppe abelsch, insbesondere:
a*a = b*b = c*c = e (zum Beispiel, da jedes Element in jeder Zeile/Spalte der Gruppentafel genau einmal vorkommt).

Also a*a=e => G abelsch

Annahme: a nicht selbstinvers.
a kann nicht Ordnung 1 haben (das hat nur e), hätte a die Ordnung 3, also a*a*a = e => Es ex. eine Untergruppe mit 3 Elementen, aber Untergruppenordnungen müssen die Ordnung der Gruppe teilen! 3 teilt nicht 4

=> ord a = 4

=> [a] isomorph zu Z/4Z

[a] <= G, |[a]| = |G| => wegen |G|<unendlich: G isomorph zu Z/4Z, also G zyklisch und damit abelsch.

MfG Jester

Danke

Gibt es einen Beweis ohne zyklisch und ohne das Aufschreiben aller Kombinationen?

Jester

Kann schon sein, aber ohne zyklisch wird's ein bissel blöd. Wo liegt denn das Problem dabei?

Is ok, hab jetzt verstanden