Untergruppen, Normalteiler
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Hallo ,
wie geht man generell vor, wenn man alle Untergruppen und Normalteiler einer gegebenen Gruppe G finden möchte ?
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Das hängt stark von der Gruppe ab. Ich nehme mal an, Du meinst ne endliche.
Bei kleinen Zahlen kannsz Du oftmals mit den Sylowsätzen was reißen. Weiß ich aber ned, ob Du die hattest. Ansonsten kannste erstmal die von den einzelnen Elementen erzeugten zyklischen Untergruppe betrachten. Dann suchste Dir erzeugende Elemente für die Gruppe. Mit denen kannste jetzt auch alle Untergruppen erzeugen, indem Du sie zum Beispiel miteinander multiplizierst um die Gruppe zu erzeugen und eben mehrere verwendest. Ist aber meist ein ziemliches Geschäft.
Einfacher ist es halt, wenn Du was über die Gruppe weißt. Zum Beispiel zyklisch, dann gibt's nämlich zu jedem Teiler von |G| genau eine Untergruppe und die ist wieder zyklisch.Die Normalteiler sind auch so ne Sache. Erstmal, bei abelschen Gruppen ist jede UGR Normalteiler. Untergruppen, die halb so viele Elemente wie die ganze Gruppe haben sind auch Normalteiler. Bei den andere muß man's dann halt explizit nachrechnen.
Achja, angenommen die Zahl d teilt |G| und es ex. genau eine UGR von G mit d Elementen, dann ist diese auch ein Normalteiler. Umkehrung gilt nicht!!!
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Danke
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Hallo nochmal.
Also ich soll jetzt konkret alle Untergruppen von A4 bestimmen.
Ich habe alle 12 elemente von A4 gefunden.
jedes Element solange mit sich selbst mal genommen bis e erreicht war.
So habe ich Untergruppen mit 2 und 3 Elementen gefunden.Meine Fragen.
1. Habe ich jetzt alle Untergruppen mit 2 und 3 Elementen? (habe jedes Element mit sich selbst getestet)2.Wie finde ich alle Untergruppen mit 4 und 6 Elementen
(jedes mit jedem testen is bei 12 Elementen nen bischen viel)
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Jo, so kriegst Du alle Untergruppen mit 2 bzw. 3 Elementen, das liegt daran, daß 2 und 3 Primzahlen sind und Gruppen von Primzahlordnung immer tyklisch sind, also von einem Element erzeugt werden.
Versuch doch lieber mal erzeugende Elemente von A4 zu bestimmen. Dann dürftest Du's deutlich einfach haben. Und zwar möglichst wenige.
Interessant für Deine Zwecke ist auch die V4:={id, (12)(34), (13)(24), (14)(23) }
Die ist nämlich Normalteiler und damit die einzige Untergruppe mit 4 Elementen.
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Hallo Jester
wie sehe ich das V4:={id, (12)(34), (13)(24), (14)(23) } Normalteiler ist?
Und wie bestimme ich erzeugende elemente von A4
ps. brauchst nur zu beschreiben, was ich tun muss, ausführen möchte ich selber
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Nunja, zunächst kann man sich klarmachen, daß in V4 alle selbstinversen Elemente drin sind, die nicht oder alles fest lassen.
Jetzt nimmst Du ein bel. Element aus der V4 und konjugierst es mit einem bel. Element aus der S4. Dieses konjugierte Element hat wieder Ordnung 2, ist also selbstinvers.
Anschließend mußt Du noch zeigen, daß das konjugierte Element entweder alle Elemente oder keines fest läßt. Damit ist es dann wieder in V4.
Und wegen Beliebigkeit der Elemente => V4 ist Normalteiler in S4.
Damit dann insbesondere auch in A4.Zur Bestimmung der erzeugenden. Du hast ja eh ne Liste aller Elemente. Aus denen schmeißt Du jetzt so lange die Elemente raus, die sich mithilfe anderer ausdrücken lassen. Wenn die Liste irgendwann nicht mehr kleiner geht, dann erzeugen diese Elemente die Gruppe, das heißt: Jedes Element aus der Gruppe läßt sich als Produkt dieser Elemente schreiben.
MfG Jester