Mathe (simultane Kongruenzen)
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Hallo ich soll folgendes System lösen:
5x konkuent zu 0 mod 6
2x konkuent zu -2 mod 25
3x konkuent zu 35 mod 29
2x konkuent zu 939 mod 1001Ich hab schon folgendes gemacht:
1. die Inversen bestimmt5^-1 =5 in mod 6
2^-1 =13 in mod 25
3^-1 = 10 in mod 29
2^-1 = 501 in mod 10012. Die Gleichung umgeformt
x konguent 5 mod 6
x konguent 13*-2 mod 25 <=> x konguent 24 mod 25
x konguent 10 * 35 mod 29 <=> x konguent 2 mod 29
x konguent 501 * 939 mod 1001 <=> x konguent 970 mod 1001Jetzt das Problem: Es bleibt
x konguent 5 mod 6
x konguent 24 mod 25
x konguent 2 mod 29
x konguent 970 mod 1001Der Rechner spuckt das Ergebniss x = 1981949 aus, wie rechne ich
sowas von "Hand" aus ? (Also Rechenweg?)
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nachobenschieb
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chin. restsatz: (=_k := kongurent )
t=_k a mod m
t=_k b mod nggt(m,n)=1=mx+ny
=> t= (bmx+any) mod(m*n)iteriet anwenden.
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Da ich jetzt auch gerade daran sitze, das zu lernen, wundert mich deine Inversenbestimmung ein wenig.
Gibt es hier noch jemanden, der bestätigen kann, dass Andreas' (der heisst auch noch, wie ich....) Inversen falsch sind? Oder mache ich einfach einen Denkfehler?
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Wofür haben wir eigentlich heir ein Matheforum?
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Ich habe keine Ahnung, warum der Thread noch hier ist. Habe ihn über die Suchfunktion gefunden und halt einfach geantwortet....
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Die Inversen sehen korrekt aus, wo ist das Problem?
5^-1 =5 in mod 6: 55 = 25 = 1 + 24 = 1
2^-1 =13 in mod 25: 213 = 26 = 1+25 = 1
3^-1 = 10 in mod 29: 103 = 30 = 1 + 29 = 1
2^-1 = 501 in mod 1001: 2501 = 1002 = 1 + 1001 = 1also alle korrekt.
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Wenn ich das Inverse einer Einheit a im Restklassenring Zn (erste Gleichung: a = 5, Zn = Z6) bestimmen will, gehe ich so vor:
- Voraussetzung: a und n müssen teilerfremd sein (im ersten Fall 5 und 6 -> OK)
- Nach dem Satz von Bezout gibt es r und s mit: ra + sn = 1
- Also: ra kongruent 1 mod n und der Rest (r mod n) ist das Inverse von a.Ich komme da bei der ersten Gleichung irgendwie auf (-1) = 5^-1 in Z6 und nicht auf 5. In der zweiten Gleichung wären es dann (-12) = 2^-1 in Z25.
Und genau das ist das Problem
Ich dachte, ich hätte es mittlerweile begriffen, aber scheint wohl nicht so....[EDIT]
Ich sollte vielleicht bedenken, dass es mehrere Inverse gibt
Warum fallen mir die einfachen Dinge immer erst so spät auf ? Danke fürs Nachdenken, Jester.
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Naja, es gibt genaugenommen nicht mehrere Inverse, sondern nur ein einziges... -1 und 5 sind nur zwei verschiedene Darstellungen des selben Elements.
Wären a,b beide invers zu x, e sei neutral:
so wäre a = a*e = a*(x*b) = (a*x)*b = e*b = b, also sind beide gleich. Die Inversen sind also in gewisser Weise schon eindeutig, aber halt in Z/nZ nur mod n.MfG Jester