4. Tangente an x+sin(x) durch bestimmten Punkt

Tangente an x+sin(x) durch bestimmten Punkt

  • M
     

    f(x)=x+sin(x)
f1(x)=1+cos(x)

    Im Intervall [0;2*Pi] beschreibt die Fkt einen Glaskörper blablablub Der soll nun mit möglichst wenig Materialverlust ausgeschnitten werden.

    Ich habe mir nun gedacht, ich schneide den Glaskörper vom äussersten rechten Punkt P(2*Pi / 2*Pi) nach links in Richtung y-Achse auf. Um möglichst wenig wegzuschneiden, muss ich ja den Glaskörper weiter links gerade so berühren, also Tangente an f(x) an einem Punkt x0 < 2*Pi. Das heisst ich muss folgende Tangenten-Gleichung nach x0 auflösen:

    t (muss P(2*pi / 2*Pi) schneiden):  2*Pi=f1(x0)*(2*Pi-x0)+f(x0)

2*Pi=(1+cos(x0))*(2*Pi-x0)+(x0+sin(x0))

    Geht aber nicht so leicht, obwohl es ja nur zwei Lösungen geben dürfte im Intervall [0;2*Pi]... Denkfehler?

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  • D

    Kannst du grad erklären, was man unter dem Ausschneiden mit wenig Materialverlust versteht?

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  • M

    ja nen kegelstumpf im prinzip, aus dem die Vase, die der Rotationskörper von x+sin(x) beschreibt, ausgeschnitten wird... und der soll halt möglichst klein sein

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  • .

    Dafür brauchst du keine Ableitungen oder sowas. Guckstu:

    f(x)=x+sin(x)f(x) = x + \sin(x)
    g(x)=mx+bg(x) = mx + b
    Es gilt:
    g(2π)=2πg(2\pi) = 2\pi
    Und:
    g(x) \geq f(x), x \in [0, 2\pi]
    Durch umformen der ersten Bedingung erhält man:
    b=2π(1−m)b = 2\pi(1-m)
    Setzt man das in die zweite ein, so hat man zunächst:
    mx+2π(1−m)≥x+sin(x)mx + 2\pi(1-m) \geq x + \sin(x)
    Ein bisschen schwarze algebraische Magie gibt
    (m−1)(x−2π)≥sin(x)(m - 1) (x - 2\pi) \geq \sin(x)
    Es genügt das Maximum vom Sinus auf dem Intervall [0,2\pi] zu betrachten (das müsste man zwar noch anständig begründen, aber ich hab keine Lust dazu ;)). Das liegt offenbar bei x=π2x = \frac{\pi}{2}.
    ⇒(m−1)(−3π2)≥1\Rightarrow (m - 1) (-\frac{3\pi}{2}) \geq 1
    Da wir m minimieren wollen erhalten wir:
    ⇒m=1−23π\Rightarrow m = 1 - \frac{2}{3\pi}
    ⇒b=43\Rightarrow b = \frac{4}{3}

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  • M

    Hört sich gut an 🙂 Aber mit der Tangentengleichung, wie oben beschrieben, müsste es doch auch gehen... Ich verstehe nicht warum da nix gescheites rauskommt.

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