4. Aufgabe

Aufgabe

  • ?

    ABC
    +DEF
    ----
    GHI

    Wie kann man beweisen, dass GHI durch 9 teilbar ist?

    0
  • T

    joa indem man werte für die einzelnen platzhalter findet. auf dem ersten blick hätte ich gesagt, probier mal die ascii-codes pro buchstabe aus minus dem ascii-code von 'A', sodass A = 0, B = 1 usw.

    0
  • M

    Umfg schrieb:

    ABC
    +DEF
    ----
    GHI

    Wie kann man beweisen, dass GHI durch 9 teilbar ist?

    Ich verstehe die Aufgabe nicht wirklich. Kannst du ein paar mehr
    Informationen dazu geben?

    Gruß mcr

    0
  • D

    A=1, B=2, C=4, D=6, E=5, F=3

    Ergebnis ist nicht durch 9 teilbar 🤡

    0
  • B

    777 != GHI. Offensichtlich sollen die Ziffern verschieden sein.

    0
  • D

    Ok, das hab ich übersehen...

    0
  • ?

    Jede der Ziffern von 1 - 9 entspricht den Buchstaben A - I.
    Man soll beweisen, dass GHI durch 9 teilbar ist. (Kein Beispiel!). Ich
    habe mir gedacht man könnte irgendetwas durch die Quersumme machen.

    0
  • .

    Vielleicht hilfts ein wenig, dass die Teilbarkeit durch 9 hier (Dezimalsystem vorausgesetzt) nur auf zwei Arten gelten kann:

    Entweder G + H + I = 9
    oder oBdA G = 9, H + I = 9.

    Jetzt kannst du die Kombinationen alle durchgehen und bekommst eine ganze Menge möglicher Felder (aber immernoch deutlich weniger als alle Permutationen ;)). Dann musst du denen nur noch ansehen, dass es tatsächlich alle sind und bist fertig.

    Das lässt sich bestimmt auch irgendwie algebraisch lösen, aber soweit bin ich jetzt nicht zu denken bereit.

    0
  • ?

    Hab schon ein wenig rumprobiert: g+h+i = 18!

    0
  • D

    Wieso wird 0 denn eigentlich ausgeschlossen?

    0
  • P

    Zuerst mal: da G, I, H jeweils die Summe von zwei Ziffern von A-F ist, muss G+I+H = Summe von A-F sein. Da ferner Die Summe der Ziffern von 1-9 45 ergibt, bedeutet dass, dass Summe(A-F) = Summe(G-H) = 22,5 Was mit ganzen Ziffern nicht möglich ist, die Aufgabe ist so also fürn Ar** 😉

    Sollte die 0 als Ziffer erlaubt sein, heißt das, dass genau eine Ziffer wegfällt. Da Summe(0-9) immernoch 45, muss eine ungerade Ziffer wegfallen, damits durch zwei teilbar ist. Dann ergeben sich 5 Fälle:

    Vorausbetrachtungen:
    9 muss unter der Summe stehn, sonst käme irgendwo eine Summe > 9 Zustande
    1,2 müssen über der Summe stehn, da sie nicht aus 2 ziffern addiert werden können

    Fall 1:
    Summe(0,2-9) = 44 => G+I+H = 22
    Für die Summe von 22 aus 3 verschiedenen Ziffern ergeben sich folgende Möglichkeiten:
    985, 976

    985 fällt weg, da 5=2+3, kann 8=(1+7, 2+6, 3+5) nichtmehr aus 2 anderen Ziffern gebildet werden, da 1-3 vergeben sind.

    976 geht auch nicht, da 6=2+4 (1+5 fällt weg ohne 1), kann 7(1+6, 2+5, 3+4) nicht gebildet werden, da 1,2,4 vergeben sind
    -> Fall 1 nicht möglich

    Fall 3:
    Summe(0-2,4-9) = 42 => G+I+H = 21
    Möglichkeiten für 21 aus 3 ziffern:
    984, 975

    984 fällt aus wegen 4=1+3
    975: 5 = 1+4, 7=?+? (nicht möglich, da 1,3,4,5 weg)

    Fall 5:
    Summe = 40 -> G+H+I = 20
    983, 974

    983: 3=1+2, entweder 9=7+2 oder 8=7+1 -> geht nicht, da 1,2 vergeben
    974: 4=1+3, 9=8+1 geht nicht

    Fall 7:
    G+H+I = 19
    964

    964: 4=3+1, 9=8+1 geht nicht

    Fall 9:
    G+H+I = 18
    873, 864, 765

    765: geht nicht, man kann die 8 nicht unterbringen
    873: 3=1+2; 8=(1+7, 2+6, 3+5) geht alles nicht, da 1,2,3 vergeben
    864: 4=1+3, 8=1+7 (um 7 unterzubringen) -> geht nicht

    ----> Selbst mit den Ziffern 0-9 ist die Aufgabe nicht lösbar.

    0
  • C

    Hast du bei deinen Überlegungen auch daran gedacht, daß möglicherweise Überträge bei der Addition auftreten könnten? Die 1 könnte unter der Summe auch aus 8+3 entstanden ein.
    (und damit könnte auch schon dein Ausgangs-Argument entkräftet werden: 15+17 = 32, aber (1+5)+(1+7)=14≠(3+2))

    0
  • M

    Hallo pumuckl,

    pumuckl schrieb:

    Zuerst mal: da G, I, H jeweils die Summe von zwei Ziffern von A-F ist, muss G+I+H = Summe von A-F sein. Da ferner Die Summe der Ziffern von 1-9 45 ergibt, bedeutet dass, dass Summe(A-F) = Summe(G-H) = 22,5 Was mit ganzen Ziffern nicht möglich ist, die Aufgabe ist so also fürn Ar** 😉

    Diese Beobachtung ist leider nicht korrekt:
    Wenn Z.b. C=9 und F=8 ist, so ist I=7 und nicht 17.
    Also gilt NICHT: G+I+H = Summe(A-F).

    Gruß mcr

    0
  • W

    Wenn zwei Ziffern addiert werden, so ist das Ergebnis entweder >9 oder eben nicht. Im ersten Fall gibt es einen Übertrag. Bei der Addition von 3 Ziffernpaaren kann es also 0,1,2 oder 3 Überträge geben. 3 scheidet aus, da das Ergebnis sonst 4-stellig wäre - ist es aber nicht. 0 scheidet auch aus - warum hat pumuckl schon gezeigt.

    Für jeden Übertrag wird die Summe(G-I) um 10 kleiner und um 1 erhöht - also insgesamt um 9 kleiner. Für einen Übertrag gilt daher:
    Summe(G-I) + 9 = Summe(A-F)
    und es gilt immer
    Summe(G-I) + Summe(A-F) = 45

    daraus folgt, dass in diesem Fall immer

    umfg schrieb:

    Hab schon ein wenig rumprobiert: g+h+i = 18!

    und damit die Summe durch 9 teilbar ist.

    Bei zwei Überträgen gilt ensprechend
    Summe(G-I) + 18 = Summe(A-F)
    bzw.:
    Summe(G-I) = 13,5 -> Widerspruch.

    also verbleibt als einzige Möglichkeit der korrekten Anordnung der Ziffern der Fall mit genau einem Übertrag und dann ist das Ergebnis durch 9 teilbar.

    Gruß
    Werner

    0
  • P

    CStoll schrieb:

    Hast du bei deinen Überlegungen auch daran gedacht, daß möglicherweise Überträge bei der Addition auftreten könnten? Die 1 könnte unter der Summe auch aus 8+3 entstanden ein.
    (und damit könnte auch schon dein Ausgangs-Argument entkräftet werden: 15+17 = 32, aber (1+5)+(1+7)=14≠(3+2))

    Okay, war davon ausgegangen, dass keine Uebertraege auftreten duerfen. Naja, hat meine Ueberlegung wenigstens gezeigt, dass Uebertraege auftreten muessen 😉

    einige Betrachtungen, die eventuell die Loesung der Aufgabe vereinfachen:

    - es ist egal, ob man C und F, B und E oder A und D vertauscht, weshalb man oBdA sagen kann dass A<D, B<E, C<F

    - G >=4, da mit A=1, D=2 und B,C,E,F >=4 immer ein Uebertrag von B+E kommt.

    - In Spalten ohne Ueberschlag aus der vorherigen Spalte taucht eine gerade Anzahl ungerader Zahlen auf, da g+g=g, g+u=u, u+u=g. In Spalten mit Ueberschlag taucht eine ungerade Anzahl ungerader Zahlen auf, da g+g+1=u, g+u+1=g, u+u+1=u
    Da insgesamt 5 ungerade Ziffern vorhanden sind, gibt es genau eine Spalte mit Uebertrag aus der vorherigen Spalte. Die Ungeraden Zahlen koennen auf die drei Spalten in zwei Weisen verteilt werden: 0-2-3, 2-2-1.

    - wenn C+F<10, findet der Ueberschlag zwischen den ersten Spalten statt. Man kann dann aber ohne etwas zu aendern die letzte Spalte nach vorne ziehen, also kann man davon ausgehen, dass der Ueberschlag zwischen den letzten Spalten stattfindet -> C+F>10

    - bei genau einem Ueberschlag ist Summe(A-F)+1-10 = Summe(G-I) (wenn C+F > 10, ist I=C+F-10 und H=B+E+1, G=A+D; analog wenn der ueberschlag eine Spalte weiter stattfindet).
    Daraus folgt: Summe(A-F) = Summe(G-I)+9
    => 45 = Summe(A-F)+Summe(G-I) = 2*Summe(G-I)+9
    => Summe(G-I) = 18, Summe(A-F) = 27

    erstmal zusammenfassen:
    G+H+I = 18
    C+F=I+10
    B+E+1=h
    A+D=G
    A<D, B<E, C<F
    G>=4

    Moeglichkeiten fuer 18 aus drei Ziffern (G-I):
    981, 972, 963, 954, 873, 864, 765

    Fall 765: Da 8 und 9 ueber der Summe stehen und es nur einen Ueberschlag gibt, muss C=8, F=9. I=C+F-10 = 7, dann ist H=6 oder G=6. Falls G=6 gilt G=2+4, 5=H=B+E+1=1+3+1 geht!
    Falls H=6 gilt G=5 = 2+3 oder 1+4, H = 1+4+1 oder 2+3+1 geht beides! Loesungen also:

    218  128  218
+349 +439 +439
==== ==== ====
 567  567  657

    /edit: Fall 864:
    Da die 9 zum Uebertrag beitragen muss, gilt F=9 und I != 8
    falls I=4 muss C=5, und da die 7 oben untergebracht werden muss folgt sofort A=1,D=7,G=8, B=2, E=3, H=6=B+E+1 passt!
    falls I=6 folgt C=7 und sowohl G=8 als auch G=4 ergeben sich schnell. Loesungen also:

    125  317  127
+739 +529 +359
==== ==== ====
 864  846  486

    Fall 981:
    Die 1 muss klar aus dem Ueberschlag stammen, also I=1.
    fuer C,F ergeben sich die Moeglichkeiten 4+7, 5+6.
    bei 4+7 bleiben die Paare 2,6 und 3,5 die jeweils 8 ergeben, mit H=9 ist auch der Ueberschlag drin. ausserben kann man mit B=2, E=5 den Fall H=8 realisieren
    bei C,F = 5,6 bleibt B,E=3,4 und A,D=2,7 fuer H=8 als einzige Moeglichkeit

    234  324  324  235
+657 +567 +657 +746
==== ==== ==== ====
 891  891  981  981

    Fall 972:
    I=2 ist klar, es folgt sofort C,F = 4,8
    Fuer G=7 folgt A=1,D=6. Fuer H=7 Folgt B=1, E=5

    314  134
+658 +658
==== ====
 972  792

    Fall 963:
    Falls I !=3 folgt G=3, H=9, I=6 (H=3 ist nicht moeglich, I=9 auch nicht)
    I=6 ist aber nur durch C+F=16=7+9 zu erreichen -> keine Loesung
    Also I=3 => C=5, F=8. Als einzige Moeglichkeit bleibt H=6=1+4+1, G=9=2+7

    215
+748
====
 963

    Fall 873:
    Wie oben gelangt man zum Schluss dass I=3, mit C+F=4+9
    Die Paare 1,6 und 2,5 ergeben jeweils 7 => zwei Loesungen fuer H=8
    Mit 2+6=8, 1+5+1=7 gibts auch ne Loesung fuer G=8

    124  214  214
+659 +569 +659
==== ==== ====
 783  783  873

    Damit sind alle Loesungen abzueglich Permutationen gegeben.
    Zu jeder von mir aufgeschriebenen Loesung gibts 16 Alternativen, die aber unter obigen Betrachtungen alle aequivalent sind (2^3 fuer die moeglichen vertauschungen von AD, BE, CF, mal 2 fuer die Moeglichkeit, den ueberschlag in spalte 1 oder 2 zu bekommen)

    Insgesamt gibt es fuer das Problem also 16*16=256 Loesungen.

    0
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