4. Integration durch Substitution - Eine Aufgabe, die es in sich hat...

Integration durch Substitution - Eine Aufgabe, die es in sich hat...

  • M

    Servus!

    Ich komm bei dieser Aufgabe einfach nicht weiter. Vllt. kann die ja jemand hier lösen und mir den Lösungsweg in schön dargestellter Form darstellen! Wäre nett. Allerdings bitte ich, sich an die Vorgaben der Aufgabe strengstens zu halten. Sonst bringt mir das auch nicht viel.

    Bestimmen Sie die Stammfunktion mithilfe der Integration durch Substitution.

    f(x) = 1 / (x^2 * (1 - x2)0.5)

    und x = 1 / t

    Viel Spaß beim Knobeln. 😉

    Mr. B

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  • M

    sorry, ich hab das aus versehen ins falsche forum gestellt.
    ihr könnt das ruhig verschieben! tut mir leid! 😞

    Mr. B

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  • T

    Der Tipp mit x=1/t ist doch schon die halbe Miete.
    f(x)=1x21−x2f(x)=\frac{1}{x^{2}\sqrt{1-x^{2}}}
    f(x(t))=t21−1t2f(x(t))=\frac{t^{2}}{\sqrt{1-\frac{1}{t^{2}}}}
    x˙(t)=−1t2\dot{x}(t)=-\frac{1}{t^{2}}
    ∫f(x(t))dx=∫f(x(t))x˙(t)dt=−∫11−1t2dt\int f(x(t))dx=\int f(x(t))\dot{x}(t)dt=-\int\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{t^{2}}}}dt
    Das lässt sich dann relativ leicht lösen, insbesondere wenn du mit t erweiterst.

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  • M

    klar, is x = 1 / t ne hilfe, aber dein "ergebnis" ist nicht zu ende gerechnet. in der gleichung ist ja noch ein t und das endergebnis beinhaltet ein x.

    die lösung (mitm programm errechnet) lautet: - ([1 - x2]0.5) / x

    Mr. B

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  • T

    Mr. B schrieb:

    dein "ergebnis" ist nicht zu ende gerechnet.

    Ach was...

    in der gleichung ist ja noch ein t und das endergebnis beinhaltet ein x.

    Die Gleichung beinhaltet nur ein t, das ist der Sinn der Substitution, nachdem über t integriert wurde, wird natürlich zurücksubstituiert.

    die lösung (mitm programm errechnet) lautet: - ([1 - x2]0.5) / x

    Das ist korrekt.

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  • M

    ja, es geht mir darum, auf das ergebnis, das ich vorgegeben habe, zu kommen. so weit wie du war ich auch schon. aber das integral soll ja da weg, ob mit zurücksubstitution oder nicht, is mir latte (war mein fehler, das davor, sorry), aber die stammfunktion soll kein integral sein, sondern die form, die ich angegeben habe. und wie man auf diese form kommt, dass ist meine frage...

    Mr. B

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  • T

    Theston schrieb:

    Das lässt sich dann relativ leicht lösen, insbesondere wenn du mit t erweiterst.

    −∫11−1t2dt=−∫tt2−1sgn(t)dt-\int\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{t^{2}}}}dt=-\int\frac{t}{\sqrt{t^{2}-1}}sgn(t)dt
    sgn(t) ist das Vorzeichen von t (t wird mit t=sqrt(t²)*sgn(t) ersetzt) und t die halbe innere Ableitung von sqrt(t²-1). Das Integrieren der äußeren Funktion sollte kein Problem sein, die 2en kürzen sich, sgn(t) lässt sich anschließend ähnlich wie oben wieder ersetzen und anschließend noch t ersetzen, voilà

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  • M

    wenn du mir jetz noch mal genauer erklären könntest, was sgn(t) ist, dann wären wir wahrscheinlich schon am ende des problems und ich wär zufrieden und dir sehr dankbar... 🙂

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  • .

    Signumsfunktion, das Vorzeichen.

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  • T

    −∫tt1−1t2-\int\frac{t}{t\sqrt{1-\frac{1}{t^{2}}}}
    Ich will das t unter die Wurzel schreiben, dazu ersetze ich es mit sqrt(t²), also geht dabei das Vorzeichen verloren. Ich mache jetzt egtl nur Fallunterscheidung für t<0 und t>0, wobei sgn(t) für t<0 eine -1 liefert und für t>0 eine +1, t=0 ist ausgeschlossen. sgn(t) ist also lediglich die Fallunterscheidung in eine Funktion gepackt, da die Rechnung die selbe ist.

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  • C

    Dieser Thread wurde von Moderator/in nman aus dem Forum Neuigkeiten aus der realen Welt in das Forum Mathematik verschoben.

    Im Zweifelsfall bitte auch folgende Hinweise beachten:
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  • M

    Tut mir leid, ich versteh immer noch nicht, wie man von

    −∫tt2−1-\int\frac{t}{\sqrt{t^{2}-1}}

    durch Gleichungen zu

    −1−x2x-\frac{\sqrt{1-x^{2}}}{x}

    kommt. Vllt. kann mir das mal jemand hier kleinschrittig mit Latex beschreiben?

    Mr. B

    P.S.: Ich mein, ich würde auch meinen Mathelehrer fragen, aber der kanns selbst nicht - hat er zugegeben. Findet ihr das nicht peinlich für n LK-Lehrer? 😞

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  • P

    Die Frage ist ja im grunde, wovon−∫tt2−1-\int\frac{t}{\sqrt{t^{2}-1}}die Ableitung ist.
    Nunja, eine Wurzel im Nenner sieht schonmal nach der Ableitung einer Wurzel aus, denn dduu=12u\frac{d}{du}\sqrt{u} = \frac{1}{2\sqrt{u}}
    Was stoert, ist aber, dass in der Wurzel ein t2 steht und ueber dem bruchstrich auch ein t. Da aber netter Weise die innere Ableitung der Wurzel dann gerade 2t ist, macht das garnichts. Probieren wirs also und leiten einfach mal die Wurzel ab:

    ddtt2−1=12t2−1ddt(t2−1)=12t2−12t=tt2−1\frac{d}{dt}\sqrt{t^{2}-1} = \frac{1}{2\sqrt{t^{2}-1}}\frac{d}{dt}(t^{2}-1) = \frac{1}{2\sqrt{t^{2}-1}}2t = \frac{t}{\sqrt{t^{2}-1}} Wunderbar! Also ist −∫tt2−1=−t2−1-\int\frac{t}{\sqrt{t^{2}-1}} = -\sqrt{t^{2}-1}
    Was ist daran so schwer gewesen, vor allem fuer deinen Lehrer?

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  • M

    weiß nicht. wenn er es nichmals richtig kann, wie soll ich dann einfach so mal eben über ihn hinauswachsen, wenn ich doch von seinen schlechten erklärungen abhängig bin? ^^

    warum ers nicht kann, musste ihn selbst fragen - ich bin sowieso der meinung, dass er nicht gut ist ^^

    wie soll man denn diesen aufgabentyp lösen? es gibt in unserm buch 2 nummern voll mit solchen aufgaben und ich kann die voll nicht. normalerweise kann ich das alles, was im buch steht, weils so pisselniveau ist, aber in dem falle?!? ich verlier den überblick. hast du tipps, wie ich das meistern kann?

    Mr. B

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  • J

    Anstatt wild rum zu raten, könnte man auch einfach noch eine Substitution durchführen mit y := t^2 - 1
    Dann löst sich die Aufgabe von alleine.

    Mr. B schrieb:

    ich bin sowieso der meinung, dass er nicht gut ist ^^

    Sonst wär er auch kein Lehrer geworden. 🙄

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