0 hoch 0

[Bashar]

D schrieb:

Hallo,
kann mir mal jemand erklären, warum man 0 hoch 0 nicht definieren darf?
Ich habe mir mal gedacht, die erste Ableitung gibt die Steigung an einem
bestimmten Punkt an. Wenn ich nun die Funktion f(x) = x^0 ableite bekomme ich
f'(x) = 0.

Scherzkeks. Wenn die Funktion in 0 nicht definiert ist, hat sie an der Stelle auch keine Ableitung.

[Mathematikker]

Bashar schrieb:

D schrieb:

Hallo,
kann mir mal jemand erklären, warum man 0 hoch 0 nicht definieren darf?
Ich habe mir mal gedacht, die erste Ableitung gibt die Steigung an einem
bestimmten Punkt an. Wenn ich nun die Funktion f(x) = x^0 ableite bekomme ich
f'(x) = 0.

Scherzkeks. Wenn die Funktion in 0 nicht definiert ist, hat sie an der Stelle auch keine Ableitung.

Man kann den Rechts- und Linksseitigen Grenzwert bestimmen und dann das Ergebnis als stetige Fortsetzung von f nehmen.
So hat er das wohl gemeint.

[*D*]

Ist mir auch gerade aufgefallen, dass mein Beweis überhaupt nichts aussagt.
Ich bin erst neu in Differenzieren. Ich bin ja erst inder 8. Klasse. Mein
Bruder hat mir das Differenzieren beigebracht, und dann ist mir das mit 0^0
aufgefallen.

[Mr.Fister]

Die Sache ist die: Die Funktion $f:\mathbb{R^+}\times\mathbb{R}\mapsto\mathbb{R}$ die durch f(x,y) = x^y definiert ist, kann bei (0,0) nicht stetig fortgesetzt werden. Deshalb ist eine einheitliche Definition für 0^0 nicht sinnvoll. Im Rahmen von Potenzreihen ist jedoch 0^0 meist als 1 definiert, man müsste sonst immer lästige Fallunterscheidungen vornehmen (vgl. exp(0)).

[*D*]

Danke für die Antworten!!!

[`blödsinn]

Alles Quark!

0^0 = 1 PUNKT!

[Taurin]

Ich antworte erstmal mit möglichst wenig Formalismus (den man in der 8ten Klasse eh noch nicht kennen kann): 0^0 lässt sich so schlecht definieren, weil wir eigentlich gerne zwei Potenzgestzen genügen wollen. 1) x^0 = 1 und 2) 0^x = 0.
Im Falle von 0^0 müssen wir eines von beiden verletzen, und eigentlich wollen wir das nicht. Deswegen ist ein erster Ansatz (der auch oft gewählt wird), den Fall 0^0 grundsätzlich zu verbieten und damit nicht zu definieren.

(Das ist im Wesentlichen das selbe, was Mr. Fister meint, wenn er sagt, x^y ist im Punkt für x=y=0 unstetig)

Manchmal ist es aber sehr hilfreich, wenn man definiert, dass 0^0 := 1 ist. Dazu fallen mir zwei Gründe ein. Einmal ist es praktisch, weil sich viele Sätze und Regeln einfacher aufschreiben lassen. Ausserdem ist strebt der Grenzwert $\lim_{x \rightarrow 0} x^x$ gegen 1. Das bedeutet, wenn ich mir die Funktion f(x) = x^x anschaue, und x immer kleiner mache und gegen Null laufen lasse, dann wird das Ergebnis immer dichter an die 1 heran kommen. Das geht aber nur, wenn man Exponent und Basis beide gleichmäßig gegen die Null laufen lässt.
Das kann z.B. ausprobieren, indem man mal (0.00001)^(0.00001) in den Taschenrechner eingibt.

[*D*]

Danke! Das mit 0^x habe ich ganz vergessen!

[Bitte ein Bit]

Alternativ kann man auch die Grenzwerte von f(x) = x^(2x) und f(x) = x^x berechnen. Beide Funktionen streben gegen den Term 0^0 an, die Grenzwerte beider Funktionen sind aber unterschiedlich.

[XFame]

Nein, die sind beide 1.

[Bitte ein Bit]

Ups, Entschuldigung

Das kommt davon wenn man schnell eine Funktion mit einem bestimmten Grenzwert finden will.

Ich habe mir auch mal die Frage gestellt und deswegen zwei Funktionen (wohl eher Reihen) gebastelt die gegen gegen den Term 0^0 streben und dabei unterschiedliche Grenzwerte haben.

[Bitte ein Bit]

So jetzt habe ich hoffentlich eine Funktion die für x gegen 0, gegen den Term 0^0 geht und einen Grenzwert != 1 hat.

f(x) = (8/(exp(1/x))^x

Ich habe das Ganze vorsichthalber mal noch mit Gnuplot geprüft. Der Grenzwert dürfte so um die 0.37 liegen.

[Mr.Fister]

Gutes Beispiel. Auch bei exp(-1/x⁴⁾(x^2) geht für x gegen 0 gegen 0, obwohl sowohl Basis als auch Exponent beide gegen 0 gehen.

[Bashar]

Bitte ein Bit schrieb:

So jetzt habe ich hoffentlich eine Funktion die für x gegen 0, gegen den Term 0^0 geht und einen Grenzwert != 1 hat.

f(x) = (8/(exp(1/x))^x

Ich habe das Ganze vorsichthalber mal noch mit Gnuplot geprüft. Der Grenzwert dürfte so um die 0.37 liegen.

$\left ( \frac{8}{\exp{\frac{1}{x}}} \right )^x = \frac{8^x}{e} \rightarrow \frac{1}{e}$ für $x\rightarrow 0$.

[D-U-D-E]

@Mr. Fister: Bei deinem Beispiel ist es aber so, daß du da eine (doppelte) Nullstelle wegkürzen kannst, womit der Zähler konstant ist und der Nenner in die Ewigkeit geht

[Mr.Fister]

Ja und? Schau dir das andere Beispiel an, Bashar zeigt dass man es auch weiter vereinfachen kann. Ist aber auch egal.

[D-U-D-E]

Naja, ist dann irgendwie kein "echtes" 0^0 mehr

[Mr.Fister]

Definiere "echt"...

[Heinzelotto]

D schrieb:

Und da z.b. 1^0 1 ergibt, müsste doch 0^0 auch 1 sein

Das ist ja wie wenn du sagen würdest: weil 2^2 4 ergibt, muss 1000^2 auch vier ergeben

[Ausserdem]

0^0 = 0^(m-m) = 0^m/0m = 0/0 -> Division durch 0.