4. Faltung von Dichten

Faltung von Dichten

  • J

    Für einen kleinen Beweis muss ich herausfinden wie Summe von 2 bestimmten Stochastischen Größen verteilt ist. Konkret:
    U\_1,U\_2\sim f\_U(x):=\frac{1}{2\sqrt{x}}\mathbb{I}\_{[0,1]}(x)I ist die Indikatorfunktion; der Träger meiner Dichte ist also das Intervall (0,1).

    Nun möchte ich herausfinden wie die Summe U_1+U_2U\_1+U\_2verteilt ist. Dafür Falte ich die Dichtefunktion mit sich selbst.
    fU+V(s):=f_U∗f_U(s)=∫f_U(s−t)f_U(t)dtf_{U+V}(s):=f\_U*f\_U(s)=\int{f\_U(s-t)f\_U(t)\,dt}

    Mein Problem besteht nun in der praktischen Integration. Und zwar bin ich unsicher wie ich die Integrationsgrenzen setzen muss, um auf mein Ergebnis zu kommen.

    Meine Herangehensweise war, die Dichte der Summen auf 2 Äste aufzuteilen und zwar für s\in[0,1] mit den Integrationsgrenzen ∫0s\int_0^s und s\in(1,2] mit den Integrationsgrenzen ∫1−s1\int_{1-s}^1.

    Leider liefert mir das keine Dichte mehr. Hat jemand eine Idee wie ich das berechne?

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  • D

    Darf man denn überhaupt falten, wenn die Zufallsdichten nicht separierbar (also meistens statistisch unabhängig) sind? Ist mir erst mal gar nicht klar, warum das gehen sollte.

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  • J

    Sie sind doch unabhängig. Nur eben gleich verteilt. Ich sehe da kein Problem.

    Mit dem gleichen vorgehen beweist man z.b. auch, dass für 2 Stochastische Größen, die unabhängig und Gam(a,b) (Gammaverteilt) sind, die Summe der beiden Gam(2a,b) verteilt ist.

    edit: wie würdest du sonst ermitteln wie die summe verteilt ist?

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  • D

    T'schuldigung, ich hab eigentlich deinen Beitrag gar nicht gelesen, sondern nur ein paar Stichworte gelesen und geantwortet (es ist eigentlich erstaunlich, wie oft man damit wirklich das richtige Problem trifft), du hast recht.

    Aber ich verstehe nicht, wieso Du deine Integrationsgrenzen so setzt, wie Du es tust. Ich kann mir unter Dichtefunktionen nie was richtiges, pardon, vorstellen, darum mal hier mit Verteilungsfunktionen:

    z=x+y, x,y: stat. unabhängig.
    F_z(e)=∫_−∞ef_z(t)dt=∫∫_x+y≤efx,y(x,y)dxdyF\_z(e) = \int\_{-\infty}^e f\_z(t) dt = \int \int\_{x+y \leq e} f_{x,y}(x,y) dx dy
    =∫−∞∞∫−∞x=e−yf_x(x)f_y(y)dxdy= \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{x=e-y} f\_x(x) f\_y(y) dx dy

    Nun, jetzt also zur Dichtefunktion:
    dF_z(e)de=∫_−∞∞dde∫−∞x=e−yf_x(x)f_y(y)dxdy=∫−∞∞f_x(e−y)f_y(y)dy\frac{dF\_z(e)}{de} = \int\_{-\infty}^{\infty} \frac{d}{de} \int_{-\infty}^{x=e-y} f\_x(x) f\_y(y) dx dy = \int_{-\infty}^{\infty} f\_x(e-y) f\_y(y) dy
    =f_x∗f_y= f\_x * f\_y

    Also mußt Du das ganze halt nur in dem Bereich auswerten, wo deine Dichtefunktionen ungleich 0 sind, eine Aufteilung in einzelne Äste ist nicht notwendig, soweit ich das sehe.

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  • J

    Die Aufteilung in die Äste ist notwendig, da der Wert von der Dichtefunktion ja abhängig vom s ist. Du hast im Integral ja f(s-t) stehen.

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  • D

    Jover schrieb:

    Die Aufteilung in die Äste ist notwendig, da der Wert von der Dichtefunktion ja abhängig vom s ist. Du hast im Integral ja f(s-t) stehen.

    Ich verstehe's nicht. Die Dichtefunktion ist, wenn man's nachrechnet, folgendes Integral:

    f_z(s)=∫_a=max(0,s−1)b=min(s,1)141st−t2dtf\_z(s)=\int\_{a=max(0,s-1)}^{b=min(s,1)} \frac{1}{4} \frac{1}{\sqrt{s t-t^2}} dt
    wenigstens, wenn ich mich nicht verrechnet hab. Keine Fallunterscheidungen, keine Summen, nichts. Da sollte dann im wesentlichen irgendein arcsin-Geblubber rauskommen.

    Jetzt kann man nachgucken, ob da eine Dichtefunktion rausgekommen ist, also ob int f_z(s) ds = 1 und erst dann komme ich auf Fallunterscheidungen, die so ähnlich aussehen, wie bei dir:
    ∫_02f_z(s)ds=∫_01∫_0s...dtds+∫_12∫_s−11...dtds\int\_0^2 f\_z(s) ds = \int\_0^1 \int\_0^s ... dt ds + \int\_1^2 \int\_{s-1}^1 ... dt ds
    und da kommt, wenn man maxima trauen darf, auch wirklich 1 raus.

    Ich weiß jetzt immer noch nicht genau, was Du gemacht hast, was mir auffällt, ist, daß deine untere Grenze beim zweiten Integralteil falsch ist, vielleicht liegts ja daran ...

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  • J

    Ja, die untere Grenze war falsch bei mir. Sollte s-1 lauten.
    So wie du f_z angeschrieben hast, stimmt es mit meiner Version überein, aber um den Wert der Dichtefunktion an einer bestimmten Stelle s zu berechnen, muss ich unterscheiden ob 0<s<1 oder 1<s<2 ist. Und das ist bei dir genauso.

    Hast du eine explizite Darstellung von f_z anschreiben können?
    Das witzige dabei ist nämlich, dass die aus 2 Ästen bestehen muss.
    Ich habe das ganze in R mal durchsimuliert und da ist f_z(s)=pi/4 (0<s<1) und f_z(s)=irgendwas_mit_arcsin (1<s<2).

    Ich schaffe es irgendwie nur nicht die Integrale explizit zu berechnen.

    edit: Ich habs! War zu blöd zum richtig integrieren und hab zuviel und blind auf Maple vertraut 🙄

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