Grenzwertbetrachtung von ln
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Hallo:
in meinem Mathematikbuch für Analysis findet sich folgende Aufgabe:Berechne folgenden Grenzwert:
lim <x->+∞> (x³ / ((ln x)^100)
Die Frage ist nun, wie ich jetzt auf das Ergebnis komme
mit der Regel von l'Hopital komme ich auf den nächsten Schritt:lim <x->+∞> (3x³ / (100 * (ln x)^99)
womit ich wieder vor l'Hopital stehe
meine Überlegung war jetzt folgende:
das x³ Element bleibt bei ständiger Anwendung der l'Hopitalschen Regel dadurch, dass d(lnx) / dx = 1/x immer im Zähler bestehen und der exponent des ln x verringert sich so - sieht mein Term am Ende ja in etwa so aus:lim (3^100 * x^3) / (100! * ln x)
und dann der nächste Schritt:
3^100 / 100! * lim 3 x^3
Womit mein Grenzwert ja ∞ wäre.
Wenn ich mir die Funktion plotten lasse oder vom Taschenrechner f(10000) o.ä. ausgeben lasse, sieht es aber so aus als liefe der Grenzwert gegen 0.Wisst ihr, wo mein Fehler liegt?
Vielen Dank im Voraus!
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Die Funktion geht halt sehr langsam gegen unendlich. Sie hat außerdem ein Minimum bei exp(100/3), dh. etwa 3*10^14.
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Hallo,
also ich erhalte nach n-mal L'Hopitalieren das hier:
\frac{3^n \cdot x^3}{n! \cdot [\ln (x)]^{100-n}},also für n=100
was für x->0 gegen 0 konvergiert.
Anmerkung:
[\ln (x)]^{0} = 1
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Da steht Grenzwert gegen unendlich, und 10000 ist meines Wissens deutlich kleiner als unendlich. Versuch mal 10^100 (nicht dass das nicht immer noch deutlich kleiner wäre
)
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Bashar schrieb:
Da steht Grenzwert gegen unendlich,
Oh, damn.
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x^3 wächst meines Wissens wesentlich schneller als ln(x), ergo sollte die Funktion (im Unendlichen) eigentlich divergieren.
Was ja offensichtlich auch bei hundertmaligem Ableiten das Ergebnis ist.
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Jopp, die Änderung von X^3 ist größer als die von Ln(x), sieht man sofort wenn man man das ableitet. Da X^3 unbeschränkt ist geht die Funktion gegen unendlich
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Kann man y = ln(x) setzten?
y = ln(x) <=> e^y = x
x->+inf => y -> +inflim <x->+∞> (x³ / ((ln x)^100)
= lim <y->+∞> (e^(3y )/ y^100)
= +infkA ob das erlaubt ist.