4. Inverse Fouriertransformation

Inverse Fouriertransformation

  • R

    Hallo,
    ich habe folgendes Ergebnis der Fouriertransformation einer diskreten Funktion x gegeben und soll nun die Funktion x ermitteln.
    e−jθ1+16e−jθ−16e−j2θ\frac{e^{-j \theta}}{1 + \frac{1}{6} e^{-j \theta} - \frac{1}{6} e^{-j 2 \theta}}

    Nur finde ich keinen vernünftigen Ansatz. Hat jemand eine Idee?

    ( j := i , für die nicht ETler ;)).

    0
  • D

    Hast Du mal ne Partialbruchzerlegung gemacht? Dabei sollten dann schon irgendwann mal wieder bekannte und tabellierte Ausdrücke auftauchen, vermute ich.

    0
  • R

    Hab's gelöst.

    X(ejθ)=e−jθ1+16e−jθ−16e−jθ=z1+16z−16z2=X(e^{j\theta}) = \frac{e^{-j\theta}}{1+\frac{1}{6}e^{-j\theta}-\frac{1}{6}e^{-j\theta}}=\frac{z}{1+\frac{1}{6}z-\frac{1}{6}z^2}=
    =z(1−13z)(1+12z)=A1−13z+B1+12z=\frac{z}{\left( 1-\frac{1}{3}z\right) \left( 1+\frac{1}{2}z \right)}=\frac{A}{1-\frac{1}{3}z}+\frac{B}{1+\frac{1}{2}z}

    z=A(1+12z)+B(1−13z)z = A\left( 1+\frac{1}{2}z\right) + B\left( 1-\frac{1}{3}z\right)

    z=−2:−2=B(1−23)⇔B=−65z = -2 : -2 = B\left( 1-\frac{2}{3}\right) \Leftrightarrow B = -\frac{6}{5}
    z=3:A=65z = 3 : A = \frac{6}{5}

    X(e^{j\theta}) = \frac{6}{5} \left( \frac{1}{1-\frac{1}{3}z} - \frac{1}{1+\frac{1}{2}z} \right) \Leftrightarrow x[n]=\frac{6}{5}\left[ \left( \frac{1}{3} \right) ^n - \left( -\frac{1}{2} \right) ^n \right] \sigma [n]

    0
  • B

    Hmmm, bist du dir sicher, dass du den Spektralbereich in Z korrekt geschrieben hast? Wenn ich mich richtig erinnere, sollte z=ejΩz=e^{j\Omega} sein. (Ich kenne als norm. Frequenz nur Ω und gehe jetzt mal davon aus, dass ihr nicht θ=-Ω definiert habt 😉 )

    Jedenfalls würde sich dann

    H(z)=z−11+16z−1−16z−2=zz2+16z−16H(z)=\frac{z^{-1}}{1+\frac{1}{6}z^{-1}-\frac{1}{6}z^{-2}} = \frac{z}{z^2+\frac{1}{6}z-\frac{1}{6}}

    ergeben, mit Polen bei

    z∞1=13,z∞2=−12z_{\infty 1}=\frac{1}{3},\quad z_{\infty 2}=-\frac{1}{2}

    Das macht auch wesentlich mehr Sinn, da dein System instabil wäre... (Pole nicht im Einheitskreis.)

    Jedenfalls käme ich dann auf eine PBZ (falls ich mich nicht verrechnet habe) von

    H(z)=251z−13+351z+12H(z)=\frac{2}{5}\frac{1}{z-\frac{1}{3}} + \frac{3}{5}\frac{1}{z+\frac{1}{2}}

    mfg

    0
  • R

    Ich habe z=e−jθz = e^{-j\theta} gesetzt. Ist ja nur eine Abkürzung. So komme ich zumindest auf eine bekannte Form, die ich leicht umwandeln kann. Bei deiner Variante müsste ich dann ja anfangen zu integrieren und sollte am Ende ja auf das gleiche Ergebnis kommen. (Zumindest stimmt meine Lösung mit der "offiziellen" Lösung überein ;))

    0
  • B

    Du hast doch tatsächlich Recht 😮

    Wenn ich jetzt mein H(z)H(z) in den Zeitbereich transformiere (ich weiß nicht, warum du meinst, dass ich da was integrieren müsse... ich schau das einfach in einer Korrespondenztabelle nach...), dann erhalte ich:

    \begin{array}{rcl} \displaystyle h_n & \displaystyle = & \displaystyle\left[\frac{2}{5}\left(\frac{1}{3}\right)^{n-1} + \frac{3}{5}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1}\right]\cdot\sigma(n-1)\\ &\displaystyle =&\displaystyle \left[\frac{6}{5}\left(\frac{1}{3}\right)^{n} - \frac{6}{5}\left(-\frac{1}{2}\right)^{n}\right]\cdot\sigma(n-1) \end{array}

    Da deine Folge für n=0n=0 auch 0 wird, ist es in diesem Fall egal, ob man die Folge erst bei n=0n=0 oder wie bei mir erst bei n=1n=1 loslaufen lässt.

    mfg

    PS: Wie bist du auf deine Darstellung im Zeitbereich gekommen? Vermute mal, selber ausgerechnet, denn die Korrespondenztabellen basieren ja auf z=ejΩz=e^{j\Omega}...

    0
  • R

    Bloops schrieb:

    PS: Wie bist du auf deine Darstellung im Zeitbereich gekommen? Vermute mal, selber ausgerechnet, denn die Korrespondenztabellen basieren ja auf z=ejΩz=e^{j\Omega}...

    Wir haben halt unterschiedliche Tabellen. Bei mir steht \frac{1}{1-ae^{j\theta}} \Leftrightarrow a^n \sigma [n] in der Korrespondenztabelle.

    0
Anmelden zum Antworten