0,9 Periode kleiner gleich 1?

Heinzelotto

Optimizer schrieb:

Es wurde bewiesen, dass es so ist. Das impliziert, dass auch bewiesen ist, dass kein Gegenbeweis existiert. Eigentlich vollkommen klar.

naja, er ist ja davon ausgegangen, dass ein beweis noch nicht bekannt ist.

Heinzelotto schrieb:

Optimizer schrieb:

Es wurde bewiesen, dass es so ist. Das impliziert, dass auch bewiesen ist, dass kein Gegenbeweis existiert. Eigentlich vollkommen klar.

naja, er ist ja davon ausgegangen, dass ein beweis noch nicht bekannt ist.

Wie soll das möglich sein? Wenn ich zum Beispiel beweise, dass die Innenwinkelsumme in einem Dreieck immer 180° ist, kann keiner kommen und behaupten "es gibt vielleicht ein Gegenbeispiel, hat nur noch keiner gefunden". Es gibt kein Gegenbeispiel, das ist ja der Witz daran, eine Aussage zu beweisen. Und einen "Gegenbeweis" gibt's dann erst recht nicht.

Heinzelotto

Optimizer schrieb:

Wie soll das möglich sein? Wenn ich zum Beispiel beweise, dass die Innenwinkelsumme in einem Dreieck immer 180° ist, kann keiner kommen und behaupten "es gibt vielleicht ein Gegenbeispiel, hat nur noch keiner gefunden". Es gibt kein Gegenbeispiel, das ist ja der Witz daran, eine Aussage zu beweisen. Und einen "Gegenbeweis" gibt's dann erst recht nicht.

Mensch, jetzt steiger dich doch nicht rein

Drücken wirs halt so aus:
Es war ein Gedankenspiel und er hat angenommen, es gäbe noch keinen Beweis....

Jester

Mathematikker schrieb:

btw. man findet gewöhnlich ein Gegenbeispiel um eine Aussage zu widerlegen

aber nur bei allquantifizierten aussagen, also sowas wie "es gilt immer, dass..." oder "für alle x gilt ...". Hier handelt es sich um eine einfache Aussage, die wahr oder falsch ist.

D-U-D-E

Spielt das denn eine Rolle? Ich könnte ja auch die Behauptung aufstellen, daß x+y=2x ist. Um zu zeigen, daß diese Aussage im Allgemeinen nicht gültig ist, braucht man ja auch lediglich ein Gegenbeispiel zu finden (was hier nicht so schwer sein dürfte ).

Bashar

Das ist eine Allaussage. x und y sind implizit allquantifiziert.

Jester

Btw, wenn man's immer mit nem Gegenbeispiel erledigen könnte, würde man dann nicht einfach immer nur ein Gegenbeispiel für die Negation einer Aussage angeben?

Aussagen wie "ich bin 25 jahre alt" oder "es gibt x,y in R so dass x^2+y2 < 0" lassen sich eben nicht durch angabe eines gegenbeispiels widerlegen.

D-U-D-E

Das ist mir eigentlich klar. Hab eben nur nicht dran gedacht, daß bei einer Behauptung wie x+y=2x x und y auch allquantifiziert sind.

Heinzelotto schrieb:

MasterCounter schrieb:

Hat wer nen Link zu nem verständlichen Beweis?

Es gilt:

$\frac13 = 0.333333333...$

ferner gilt:

$3 * 0.333333333... = 0.999999999...$

da $0.333333333...$ ja gleich $\frac13$ ist und da $3 * \frac13 = 1$ ist, ist $1 = 0.999999999...$

\qed

Ich habe darüber nochmals nachgedacht und eigentlich ist das kein echter Beweis. Du zeigst, dass 0,999...=1 ist, wenn 1/3=0,333... ist. Das ist soweit ok (eine Aussage auf eine andere zurückzuführen/umzuformen), aber du müsstest jetzt noch den Beweis erbringen, dass 1/3=0,333... ist.

Mr. N

Mathematikker schrieb:

Ich habe darüber nochmals nachgedacht und eigentlich ist das kein echter Beweis. Du zeigst, dass 0,999...=1 ist, wenn 1/3=0,333... ist. Das ist soweit ok (eine Aussage auf eine andere zurückzuführen/umzuformen), aber du müsstest jetzt noch den Beweis erbringen, dass 1/3=0,333... ist.

$0.333... := \sum_{i=1}^{\infty} {\frac{3}{10^i}} = 3 \times \sum_{i=1}^{\infty} {0.1 ^ i} = 3 \times (\sum_{i=0}^{\infty} {0.1 ^ i} - 1) = 3 \times (\frac {1} {1 - 0.1} - 1)$

http://de.wikipedia.org/wiki/Geometrische_Reihe#Konvergenz_der_unendlichen_Reihe

$... = 3 \times (\frac {10} {9} - 1) = 3 \times \frac {1} {9} = \frac {1} {3}$

qed

Jester

sehr schön. das gleiche mit ner 9 statt der 3 gibt auch einen sehr sauberen Beweis für 0.99... = 1.

Formal gesehen richtig, allerdings sieht auch jeder der schriftlich teilen kann nach ein paar hundert Stellen ein, dass ${1 \over 3} = 0.3333...$

Mr. N

Optimizer schrieb:

Formal gesehen richtig, allerdings sieht auch jeder der schriftlich teilen kann nach ein paar hundert Stellen ein, dass ${1 \over 3} = 0.3333...$

Das bitte als Beweis.

zwutz

Mr. N schrieb:

Optimizer schrieb:

Formal gesehen richtig, allerdings sieht auch jeder der schriftlich teilen kann nach ein paar hundert Stellen ein, dass ${1 \over 3} = 0.3333...$

Das bitte als Beweis.

1 : 3 = 0,333333...
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10
 9
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 10
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  10
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weitere Ausführung spar ich mir ^^

Mr. N

zwutz schrieb:

weitere Ausführung spar ich mir ^^

Ist das ein Beweis?

langeweile

Mr. N schrieb:

zwutz schrieb:

weitere Ausführung spar ich mir ^^

Ist das ein Beweis?

Ist das ne rhetorische Frage?

Theston

Mr. N schrieb:

zwutz schrieb:

weitere Ausführung spar ich mir ^^

Ist das ein Beweis?

Wend halt Induktion drauf an, meine Güte.

Bashar

Theston schrieb:

Mr. N schrieb:

zwutz schrieb:

weitere Ausführung spar ich mir ^^

Ist das ein Beweis?

Wend halt Induktion drauf an, meine Güte.

Ja mach mal. *popcorn*

Theston

Behauptung: n-te Nachkommastelle von 1/3 ist 3.
Anfang: 1. ist 3.
Annahme: Alle Nachkommastellen bis n sind 3.
Rückmultiplikation ergibt 1-3*0.3..3 (n Nachkommstellen). Rest also 0.0..1 / 3 (n Nachkommastellen) = 10^-n * 1/3.
n+1-te Nachkommstelle ist also (0+3) nach IA.

edit: Man sollte noch einfügen, dass der Induktionsschritt alle vorherigen Nachkommastellen unangetastet lässt.