Stetige Funktionen und Vektorraum

Moin,

Ich hätte ein paar Fragen zu setigen Funktionen und Vektorräumen:

Ist die Menge aller nicht notwendigerweise stetiger Funktionen ein Vektorraum?
Ist die Menge aller stetigen Funktionen von R->R ein R-Vektorraum? (Ich bin fast sicher, dass es dies ist aber nur um sicher zu gehen. )
Wie sieht eine Basis dieses Vektorraums aus?

Danke für jede Antwort.

1. Nein
2. Ja
3. Auswahlaxiom.

Die Menge aller Funktion f: IR -> IR bildet einen Vektorraum mit der punktweisen Addition und Skalarmultiplikation.
Die Menge aller stetiger Funktion f: IR -> IR bildet ein Untervektorraum dieses Vektorraums.

Die Basis kann ich dir leider nicht angeben, wären die Funktionen f Endomorphismen so wäre die Basis gerade die 1x1 Matrix: (1)

P.S. korrigiert mich bitte, wenn ich falsch liege

Ah, meine erste Aussage wurde schon widerlegt, eine nicht-stetige Funktion verletzt an dem Punkt ja die Linearität.

Deine erste Aussage ist richtig.

Ah stimmt jetzt bin ich selber durcheinandergekommen, die Addition zweier Funktionen bildet ja wieder eine Funktion mit der punktweisen Definition, ob die Funktion selbst dann stetig ist spielt dabei ja gar keine Rolle.

Danke für die schnellen Antworten so weit.

Kenner der Funktionen schrieb:

3. Auswahlaxiom.

Könntest du dies bitte ein bischen mehr im Detail erläuteren. Ich sehe nicht, wie man damit eine Basis bauen kann.

Für Folgen lässt sich eine Basis sehr leicht verständlich als ((1, 0, ...), (0, 1, ...), ...) angeben. Ist dies auch für Funktionen R->R möglich?

irgendwer schrieb:

Danke für die schnellen Antworten so weit.

Kenner der Funktionen schrieb:

3. Auswahlaxiom.

Könntest du dies bitte ein bischen mehr im Detail erläuteren. Ich sehe nicht, wie man damit eine Basis bauen kann.

Für Folgen lässt sich eine Basis sehr leicht verständlich als ((1, 0, ...), (0, 1, ...), ...) angeben. Ist dies auch für Funktionen R->R möglich?

Das geht nur für ENDLICHE Folgen! Im allgemeinen Fall braucht man das Auswahlaxiom, vgl. beliebiges Lineare Algebra Beweis Existenz einer Basis von Vektorräumen.

Ben04

Kenner des Auswahlaxioms schrieb:

Das geht nur für ENDLICHE Folgen!

Jetzt bin ich verwirrt.

Sei f_n(x) eine Funktion N->R erklärt durch

f_n(n) = 1
f_n(x) = 0 (x != n)

Ist die Menge {f_n mit n aus N} etwa keine Basis des Vektorraums aller (rellen) Folgen?

die Folge (1,1,1,...) ist keine Linearkombination

Ben04

Ich folgere daraus wohl, dass summe(i, 1, +inf, f_i) wohl nicht als Linearkombination durchgeht.

Linearkombinationen sind immer endlich. Reihen gibt es nur in normierten Vektorräumen.

Kenner der LA schrieb:

Reihen gibt es nur in normierten Vektorräumen.

Mit der Epsilon-Definition lassen sich Grenzwerte und folglich auch Reihen auch auf allgemeineren Strukturen definieren. Viele Sätze, wie zum Beispiel der Monotonie-Satz, gelten dann aber nicht.

Wieso beschränkst du deine Aussage auf normierter Vektorraum? Dies müsste meiner Meinung nach auf jeder Gruppe mit einer Metrik klappen.

Weil es hier um Vektorräume geht.