Bestimmtes Integral

Hallo,

wenn ich eine Funktion f habe mit dazugehöriger Stammfunktion F, dann ist ja die Fläche unter f im Intervall [a,b] gegeben durch F(b)-F(a).
Heißt das dann, dass die Fläche von Minus Unendlich bis b gleich F(b) ist?

GNU-Fan

Hallo,

nein.
F(b) ist ja sowieso nur bis auf eine additive Konstante bestimmt, die sich erst durch die Differenzbildung F(b)-F(a) heraushebt.

Das mit der Fläche ist auch nur dann richtig, wenn man über eine Funktion integriert, die im gesamten Intervall >=0 ist.

.filmor

integrator schrieb:

Hallo,

wenn ich eine Funktion f habe mit dazugehöriger Stammfunktion F, dann ist ja die Fläche unter f im Intervall [a,b] gegeben durch F(b)-F(a).
Heißt das dann, dass die Fläche von Minus Unendlich bis b gleich F(b) ist?

Du kannst glaub ich die Behauptung noch retten, wenn F eine Funktion ist, die für x->-inf 0 wird und überall >= 0 ist. Das gilt zum Beispiel für F(x) = exp(x).

Also, ich kam zu der Frage wegen der Normalverteilung.
In diesem Miniskript:
http://page.mi.fu-berlin.de/mielke/eis/Kleessen-Normalverteilung.pdf
ist Pi (Seite 4) das Integral von Minus Unendlich bis x.
Und auf Seite 5 bringt er dann ein Beispiel: Wenn ich die Wahrscheinlichkeit wissen will, dass der PWK höchstens 13 Jahre alt wird, dann setze ich einfach in Pi den entsprechenden Wert ein, also: W(X <= 13) = pi(1.5)

Ist dieses Pi vielleicht garnicht die echte Stammfunktion der Normalverteilung?

.filmor

Diese „Stammfunktion“ der Normalverteilung hat gerade die von mir beschriebenen Eigenschaften (kannste ja recht schnell nachrechnen).

Da sie aber nicht existiert (es gibt keine differenzierbare Funktion F mit $F' = e^{-x^2}$ , kann man auch nicht so wirklich von „echt“ sprechen

Jester

.filmor schrieb:

es gibt keine differenzierbare Funktion F mit $F' = e^{-x^2}$ , kann man auch nicht so wirklich von „echt“ sprechen

Inwiefern verstößte denn das Phi gegen diese Eigenschaften?

Hm, ist dieses F der Normalverteilung (z.B. gegen hier http://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung )
die ECHTE Stammfunktion von f oder einfach nur eine Funktion, die genau die Wahrscheinlichkeit bis x angibt?

Jester

integrator schrieb:

Hm, ist dieses F der Normalverteilung (z.B. gegen hier http://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung )
die ECHTE Stammfunktion von f oder einfach nur eine Funktion, die genau die Wahrscheinlichkeit bis x angibt?

Natürlich ist die echt. Allerdings besitzt sie keine elementare Darstellung.

Versteh ich nicht. Wieso geht denn das Integral von F nur bis x und nicht bis unendlich??

Ok, ich glaub ich hab es jetzt.
Dieses Verteilungsfunktion F (die 2. Formel auf http://de.wikipedia.org/wiki/Normalverteilung ) ist das echte Integral der Dichte f(x), da ja gilt F(x) = Integral^{a,x} über f(t) dt (vorletzte Formel hier http://de.wikipedia.org/wiki/Stammfunktion )

Stimmt das?