Ein Meisterstück

Ich habe noch eine Aufgabe: Seien a, b > 1 natürliche Zahlen, so dass für alle n > 0 gilt aⁿ-1|bⁿ-1. Dann ist b eine natürliche Potenz von a.

Wieder kein Ansatz.

Michael E.

Stichwort: Beweis durch Kontraposition

Michael E. schrieb:

Stichwort: Beweis durch Kontraposition

Ok, dann machs mal. Ich habs nicht hinbekommen.

Michael E.

Sorry, war zu voreilig.

loose

Bin gerade beim stöbern auf den Thread hier gestoßen. Auch wenn er schon etwas älter ist, hier mal mein Ansatz:

Wie gesagt sind a,b, natürliche Zahlen > 1 und für jedes natürliche n > 0 gilt a^n - 1 | b^n - 1, was sich als k*(a^n - 1)=b^n - 1 schreiben lässt (mit k el. N)

Die Annahme ist nun, dass a^m=b, mit m el. N
Dann können wir schreiben: k*(a^n - 1)=(a^m)n - 1 <=> k*(a^n - 1)=(aⁿ⁾m - 1.
Ist m eine natürliche Zahl, können wir ein k mit k=a^n+a2n+...+a^(m-1)n angeben, sodass
(a^n+a2n+...+a^(m-1)n)*(an - 1)=(aⁿ⁾m - 1 = b^n - 1 ist.

Ist m keine natürliche Zahl, so lässt sich kein solches k bestimmen. Daher muss b eine natürliche Potenz von a sein.

Ich hoffe mal, dass ich es in etwa korrekt und verständlich ausgedrückt habe.
Meine Idee war jedenfalls (aⁿ⁾m - 1 als produkt (x-r1)(x-r2)... auszudrücken, wobei r die Nullstellen, bzw die komplexen (m-ten) Einheitswurzeln von a^n sind. Daher muss m eine natürliche Zahl sein.

mfg, loose

loose schrieb:

Ist m keine natürliche Zahl, so lässt sich kein solches k bestimmen.

genau das musst du beweisen.