4. Punkte gleichmässig auf Kugeloberfläche verteilen - wie geht das?

Punkte gleichmässig auf Kugeloberfläche verteilen - wie geht das?

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    Ahh! Ich glaub ich hab gefunden, was ich suche: http://cgafaq.info/wiki/Evenly_distributed_points_on_sphere

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  • M

    Hi,

    wird nicht gehen, der größte Vielflächner für den das geht ist der Ikosaeder.
    Bei allem was höher liegt hast du da Abweichungen dabei.

    Gruß Mümmel

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    Alles eine Frage der Definition.

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  • ?

    Moin,
    ich hab mal das selber hier gefragt. Ist aber schon ne weile her.
    die Seite die du gefunden hast habe ich auch gefunden und den Links gefolgt bis ich da mal nen Source Code hatte der das numerisch gelöst hat. und für 1024 hat der ca 5 min gebraucht.
    Ich hab mir dann ein änliches Programm zussamen gebastelt aber mit CUDA,
    das Programm hab ich damals bei NVIDIA CUDA forum hochgeladen bzw. gepostet.
    Wenn du es willst und nicht findest kann ich das aber auch nochmal hier posten. Ist aber auch nicht das non plus ultra was man aus Cuda rausholen kann.

    MFG

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    Ich würde mir zuerst einen zufälligen Vektor generieren und den dann auf die gewünschte Länge normieren.

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  • J

    muemmel schrieb:

    wird nicht gehen, der größte Vielflächner für den das geht ist der Ikosaeder.
    Bei allem was höher liegt hast du da Abweichungen dabei.

    Ich sehe keinen Grund, warum das so sein sollte.

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  • M

    Hi,

    naja, wenns nicht so ist, ist die Forderung

    Der Abstand zwischen einem Punkt und den ihm am nächsten gelegenen Punkten soll für jeden Punkt derselbe sein

    nicht mehr erfüllbar. Wobei eine Ausnahme fällt mir da noch ein, der Fußball. Genauer gesagt es sind nicht nur die Platonischen Körper, sondern die Archimedischen Körper. Aber auch da ist der Großes Rhombenikosidodekaeder mit 120 Ecken das Maximum. Wobei bei dem ist die Oberfläche schon nicht mehr gleichmäßig bedeckt, sonden man hat z.B. neben kleinen Quadraten viel größere Sechsecke und Zehnecke. Von den wirklich regelmäßigen ist der Ikosaeder als Platonischer Körper schon der komplizierteste.

    Gruß Mümmel

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  • J

    Okay, auf konvexen von planen Flächen begrenzten Körpern stimmt das offensichtlich. Warum stimmt es auch noch, wenn man beliebige Körper erlaubt mit Krümmung und allem?

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  • M

    Hi Jester,

    weil im Fredtitel von Kugeloberfläche die Rede war. Und da geht es definitiv nicht. Zumindest nicht über der Eckenzahl vom Ikosaeder.

    Gruß Mümmel

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  • .

    Beweis her. Ich glaub' dir kein Wort.

    Wie gesagt, es hängt ein wenig von der Definition von "gleichmäßig verteilt" ab. Zum Beispiel wäre auf einer Kugeloberfläche die natürliche Metrik nicht die euklidische sondern die Länge der kürzesten Verbindung zweier Punkte (eine Geodäte). Ich wüsste nicht, wieso das äquivalent sein sollte.

    Außerdem (das scheint wohl das Standardbeispiel zu sein) kannst du auch ein paar "Ladungen" auf die Kugeloberfläche werfen (1/r-Potentiale), die werden sich auch gleichmäßig verteilen (Proof by Reality ;)).

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  • M

    Hi,

    wer glaubt wird seelig und wer nicht kommt auch in den Himmel. 😉

    Versuch mal auf einer kugeloberfläche kleine Kugeln dicht an dicht zu packen, du wirst immer wieder feststellen, das du keilförmige spalten dazwischen bekommst.

    Gruß Mümmel

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  • J

    muemmel schrieb:

    Versuch mal auf einer kugeloberfläche kleine Kugeln dicht an dicht zu packen, du wirst immer wieder feststellen, das du keilförmige spalten dazwischen bekommst.

    Das heißt im Klartext Du kannst es nicht beweisen sondern glaubst nur fest dran? Sorry, aber "versuch doch mal ein gegenbeispiel zu basteln" kann ich nicht als Beweis sehen. (Mal abgesehen davon, dass mich .filmors Argument mit den Ladungen vom Gegenteil überzeugt.)

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  • M

    Ich habe das Problem mal mit meinem eigenen Algorithmus versucht zu lösen, also Simulation von physikalischen Ladungen mit der Zwangsbedingung, dass alle Ladungen auf der Einheitssphäre liegen mit Berücksichtigung von individueller Ladung und Masse.
    Ansonsten habe ich festgestellt, dass es garnicht so leicht ist, ein geeignetes Abbruchskriterium zu finden. Ich habe hier mal die Standardabweichung der Abstände zum nächsten Nachbarn genommen. Für größere Teilchenzahlen funktioniert das ganze schon nicht mehr so gut, möglicherweise wäre die mittlere Geschwindigkeit der Teilchen ein besseres Kriterium.

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  • C

    .filmor schrieb:

    Beweis her. Ich glaub' dir kein Wort.

    Wie gesagt, es hängt ein wenig von der Definition von "gleichmäßig verteilt" ab. Zum Beispiel wäre auf einer Kugeloberfläche die natürliche Metrik nicht die euklidische sondern die Länge der kürzesten Verbindung zweier Punkte (eine Geodäte). Ich wüsste nicht, wieso das äquivalent sein sollte.

    Einfach. Da alle Großkreise gleich sind, entspricht jeder Geodäte bestimmter Länge eine zugehörige Sehne, die die kürzeste Verbindung der Punkte im 3-dimensionalen euklidischen Raum ist. Anders gesagt, bei zwei Punktepaaren, bei denen für jedes Paar der sphärische Abstand gleich ist, ist auch der jeweilige Abstand im euklidischen Raum gleich, ist der sphärische Abstand unterschiedlich, so ist es auch der euklidische, wobei die größere sphärische Abstand dem größeren euklidischen entspricht. Betrachten wir nun eine hypothetische gleichmäßige Verteilung auf der Kugeloberfläche. Durch eine beliebige (wenigstens 4 Punkte, die nicht in einer Ebene liegen, umfassende) Punktmenge, können wir einen eindeutigen konvexen Polyeder konstruieren (die Sondernfälle mit 0,1,2,3 Punkten sind sowieso trivial). Die Behauptung ist nun, dass wenn die Punktmenge regulär ist, das auch für den Polyeder gelten muss (anschaulich klar, kann man leicht indirekt beweisen). Da es nur eine begrenzte Zahl regulärer (oder halbregulärer) Polyeder gibt, gilt dies auch für die möglichen gleichmäßigen Punktverteilungen auf der Kugeloberfläche.

    .filmor schrieb:

    Außerdem (das scheint wohl das Standardbeispiel zu sein) kannst du auch ein paar "Ladungen" auf die Kugeloberfläche werfen (1/r-Potentiale), die werden sich auch gleichmäßig verteilen (Proof by Reality ;)).

    Solche Ladungen sind schon mal keine Körper im klassischen Sinne. Zudem ist die keine reale Kugel ideal und die Konzentration der Ladungsträger an der Kugeloberfläche ist auch nicht ideal so, dass die Ladungsträger plötzlich nur 2 Freiheitsgrade für ihre Bewegung hätten. Überhaupt haben wir es nicht mit ruhenden Ladungsträgern zu tun. Entscheidend ist aber vor allem, dass das Gesamtpotential der Kugel nicht allein durch die überschüssigen Ladungen gebildet wird, sondern durch alle Ladungsträger (also auch die, die sich "fest" im Material befinden) gebildet wird. Selbst ein einzelner überschüssiger Ladungsträger resultiert in einer homogenen Ladungsverteilung auf der gesamten Kugel - das kann man nicht erklären, wenn man nur den einen Ladungsträger betrachtet.

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  • M

    Stimmt schon irgendwie, was camper sagt. Ich hab das mal mit meiner Simulation ausprobiert, bei 12 Teilchen "konvergiert" der Vorgang schon nach etwa 2200 Iterationen, bei 11 und 13 habe ich nach 10000 Iterationen abgebrochen und das Ergebnis ist bei 12 mit Abstand am besten. Hier die Abstände zum nächsten Nachbarn für jedes Teilchen (klarerweise kommen einige Abstände mehrfach vor):

    11:
    0.977841
    1.05308
    1.05313
    0.977845
    0.977841
    0.984597
    1.05313
    0.984559
    1.05308
    0.984559
    0.977845

    12:
    1.05106
    1.05113
    1.05129
    1.05106
    1.05133
    1.05134
    1.05125
    1.05131
    1.05113
    1.05121
    1.05125
    1.05116
    [Theoretischer Erwartungswert für Ikosaeder mit Umkugelradius 1: 4/sqrt(10+sqrt(20)) = 1.051462224]

    13:
    1.00128
    0.955837
    1.002
    0.920802
    0.881886
    0.921565
    0.998643
    0.921238
    0.881546
    0.921987
    0.881546
    0.955132
    1.00017

    Eigentlich schon ziemlich interessant.

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