Statistik Aufgabe: Berechnung der Wartezeit
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Wir haben bei uns im Studiengang ein paar alte Klausuren bekommen, und wir erweisen uns im Kollektiv als unfähig eine Aufgabe zu Lösen. Vielleicht fällt euch ja was ein:
Es werde angenommen, dass die Wartezeit in Sekunden eines Kunden an der Kasse exponentialvertielt ist mit dem Erwartungwert 40 Sekunden. Welche Aussage kann üv er die Wahrscheinlichkeit getroffen werden, dass die Summe der Wartezeiten von 6 zufällig unabhängig ausgewählten Kunden mindestens 2 Minuten beträgt, aber 6 Minuten nicht übersteigt?
Anwort aus Lösungsteil: 1/3
Es ist also eine Stichprobe über 6 Elemente einer Exponentialverteilung gesucht.
Mein Ansatz war:
E(X)=nμ=640=240
Also λ=1/240damit ist die Verteilungsfunnktion F(y)=1-e^(-y/240)
Und dann:
W(120<x<=360)=F(360)-F(120)=e(-0.5)-e(-1.5)=0.38weis jemand, wie man die Aufgabe lösen kann? dies war die Lösung die am nächsten am Ergebnis dran war.
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Du gehst davon aus, dass die summierte Wartezeit exponentialverteilt ist. Das stimmt nicht! Die einzelnen Wartezeiten sind exponentialverteilt mit λ=1/40.
Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Summe von unabhängigen, identisch exponentialverteilten Variablen ist Gammaverteilt (glaube ich, musst du nochmal nachprüfen)
-> http://de.wikipedia.org/wiki/Gammaverteilung#Beziehung_zur_Exponentialverteilung
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Danke, damit hat sich das auch erledigt. die Gammaverteilung ist nicht(mehr?) Teil des scriptes. Die Klausur stammt aus 2006 und uns wurde mitgeteilt, dass sich seitdem was am Script getan hat und wir deswegen manche aufgaben nicht lösen können. schätze das ist hier der Fall
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Steht in eurem Skript etwas über die Faltung? Denn damit kann man das Beispiel auch lösen (sprich, die Verteilung der Summe berechnen).
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nein, wir haben zwar ein paar approximationen und grenzwertsätze gelernt, aber der einzige hier mögliche uns bekannte Ansatz, Levy funktioniert erst ab n>30
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Ok, jetzt haben wirs gelöst. Oh Mann.
Tschebyscheff:
E(X)=640=240
V(X)=61600=9600W(|X-240|<=120)>=1-9600/120²=1/3
Oh Mann, ich hasse Statistik.