Nullstellenbestimmung bei x an "normaler" Stelle und im Exponent
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Hi,
wie rechne ich die Nullstelle (x = -1) folgender Funktion aus?
f(x) = e*x + e^(-x)
Danke.
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Hallo,
wie soll da eine Nullstelle entstehen?
e^x > 0 für alle x Element IR.
Chris
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Und e*x < 0 für x < 0...
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Hallo,
ok, sorry. Das * habe ich übersehen.
Chris
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Dritte spontane Idee: Es geht nicht.
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scrub schrieb:
Dritte spontane Idee: Es geht nicht.
BINGO!
0=xe+e^(-x) |/e
0=x+e^(-x-1)
-x=e^(-x-1) | ln
ln(-x)=-x-1
--> endlosauflöseschleife
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Und was mach man dann außer mit nem Funktionsplotter zu cheaten?
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Du näherst e^x durch 1 + x an.
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Michael E. schrieb:
Und was mach man dann außer mit nem Funktionsplotter zu cheaten?
Nachdenken oder numerisch lösen.
e - e = exp(1) + e*(-1) = e*(-1) + exp(-(-1)) = f(-1) = 0
Nun sollten wir noch zeigen, dass es sich um die einzige Nullstelle handelt.
f'(x) = e - exp(-x) > 0 für alle x > -1.
Es kann also keine Nullstelle in (-1;oo) liegen.
Wie lässt sich zeigen, dass keine mehr in (-oo;-1) liegt?
Grüße
Martin
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Edit: Blödsinn, e*x*exp(-x) statt e*x+exp(-x)
So, f'(x) = e - exp(-x)
Um die Extremstelle zu bestimmen mit 0 gleichsetzen:
e = e^(-x) | ln
1 = -x
x = -1f''(x) = e^(-x)
f''(-1) = e ungleich 0Weil -1 die einzige Extremstelle und zugleich eine Nullstelle ist und der Graph von f stetig, kann es keine andere Nullstelle geben. Danke
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lucky_tux schrieb:
Nun sollten wir noch zeigen, dass es sich um die einzige Nullstelle handelt.
f'(x) = e - exp(-x) > 0 für alle x > -1.
Es kann also keine Nullstelle in (-1;oo) liegen.
Wie lässt sich zeigen, dass keine mehr in (-oo;-1) liegt?
Die Exponentialfunktion ist streng monoton steigend (bzw. hier fallend), also gibt es nur eine Nullstelle. So würde ich das begründen.
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scrub schrieb:
Die Exponentialfunktion ist streng monoton steigend (bzw. hier fallend), also gibt es nur eine Nullstelle. So würde ich das begründen.
Nö, der erste Teil ist streng monoton steigend, der zweite streng monoton fallend. Zusammen ergibt das einen streng monoton fallenden Graphen für x < -1 und einen streng monoton steigenden Graphen für x > -1. Wenn f(-1) nicht genau 0 wäre, gäbe es keine oder zwei Nullstellen.
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Hm, hatte bei meiner Antwort die Ableitung im Blick.