Wendestelle einer Funktionschar

Pille456

Hi,
Hab mal ne Frage zu Funktionscharen. Gegeben sei folgendes Funktion:
ƒ_t(x) = x³-(4t-t³)x² mit t ≥ 0
Aufgabe ist es nun die Wendestelle zu berechnen die (auf den Graphen bezogen) am weitesten rechts ist, sprich welche den größten x-Wert hat.
Wendestellen berechnet man ja mit der 2. und 3. Ableitung in Verbindung mit der Notwendigen und Hinreichenden Bedingung.
Hier mal mein Rechenweg:

[e]fnof[/e][t]t[/t](x) = x³-(4t-t³)x²
[e]fnof[/e][t]t[/t]'(x) = 3x²-(4t-t³)2x
[e]fnof[/e][t]t[/t]''(x) = 6x-(4t-t³)2
[e]fnof[/e][t]t[/t]'''(x) = 6

Notwendige Bedingung für innere Extremstellen: [e]fnof[/e][t]t[/t]''(x) = 0
0 = 6x-(4t-t³)2 => x = (4t-t³)*1/3

Hinreichende Bedingung für innere Extremstellen: [e]fnof[/e][t]t[/t]'''(x) [e]ne[/e] 0
6 [e]ne[/e] 0 => wahr => Bedingung erfüllt

Nun habe ich irgendwie im Kopf, dass man für die Menge t noch einen Wertebereich definieren muss indem die Bedingungen gelten, aber habe gerade keinen Beweis oder Gegenbeweis im Kopf.
Zudem weiss ich nicht, wie ich nun fortfahren soll, da die Funktionen nur dann ins +∞ gelangen kann, wenn x³ > (4t-t³)x².
Vielleicht findet ihr ja meinen Denkfehler oder könnt mir helfen!

Danke

.filmor

Könntest du dein Problem nochmal erläutern?
Du hast jetzt die Wendestelle bestimmt, da das Polynom dritten Grades ist wirst du nicht mehr finden. Da die dritte Ableitung unabhängig von t ist, ist die Wendestelle auch für alle t eine solche. Damit ist die Aufgabe gelöst.

Taurin

Da hast ja die Wendestelle x in Abhängigkeit von t berechnet, du kannst also so etwas schreiben wie x(t) = .... Wenn ich die Aufgabe richtig verstehe, ist jetzt das t >= 0 gesucht, für das x(t) maximal ist. Dann kennst du auch deine "Wendestelle, die (auf den Graphen bezogen) am weitesten rechts ist".

Alles klar?

Pille456

Aber die Stelle (und damit im Endeffekt der Punkt) der Wendestelle ändert sich doch mit jedem t. Die Ableitung ist von t nicht abhänig, jedoch die Stelle.
Wenn ich t = 1 z.B. setze ist die Wendestelle:
(4t-t³)*1/3 => (4*1-1³)*1/3 = 1
Und so kann ich das beliebig fortführen.. Hoffe du hast nun verstanden worum es geht.
Und wie ich das hier gerade so tippe fällt mir eine Lösung für mein Problem ein:
Ich muss eigentlich nur die Gleichung 4t > t³ lösen, also:
4t = t³ | :t
4 = t² => 2 = t v -2 = t, sodass die Wendestelle die am weitesten rechts liegt 1,999999999999 usw. *1/3 ist oder?

Edit: Kann gut sein, dass ich da oben ziemlichen Stuss geschrieben habe, weil das von Taurin sich auch recht logisch anhört. Taurin, nur erklär mir bitte, womit du x(t) gleichsetzen willst, damit du den Maximalwert herausbekommst.

Taurin

Naja... x(t) ist eine Funktion wie jede andere auch. Wie findet man da Maxima?

Pille456

Entweder stehe ich gerade total aufm Schlauch, aber so weit ich weiss, hab ich (höchstens unter einem anderen Namen) keine Maxima bestimmt.

Edit: Ok ich stand total aufm Schlauch^^ Danke!!!!