Nichtkonstruktiv
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Was bedeutet in Bezug auf Theorien der Mathematik nichtkonstruktiv und
in Abgrenzung dazu konstruktiv?Ich bin darüber bei hyperreellen Zahlen und dem Auswahlaxiom gestolpert.
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Das bezieht sich meist auf Existenzaussagen. Machen wir das an einem einfachen Beispiel, dem Zwischenwertsatz aus der Analysis.
Sei f:R-->R eine stetige Funktion und f(x1) > 0, f(x2) < 0. Dann gibt es ein x in [x1,x2] mit f(x) = 0.
Der Satz sagt, dass ein solches x existiert. Wie beweist man sowas? Man kann entweder ein Verfahren angeben, das einem ein solches x liefert oder man kann annehmen, es gäbe kein solches x und dies zum Widerspruch führen. Tut man letzteres, dann weiß man zwar, dass dieses x existiert, weiß aber nicht, wie man es konstruieren kann. Der Beweis ist nicht konstruktiv. Ein konstruktiver Beweis dagegen wäre ein Beweis, der ein Konstruktionsverfahren angibt, der einem das x liefert.
Noch ein schönes Beispiel, warum man eigentlich lieber konstruktive Beweise haben möchte:
Es gibt irrationale Zahlen x,y mit x^y rational.
Ein konstruktiver Beweis würde Dir einfach zwei Zahlen x und y in die Hand geben, mit denen Du es nachprüfen kannst. Folgender nichtkonstruktiver Beweis liefert Dir zwar die Aussage, aber Du weißt trotzdem noch keine Zahlen:
sqrt(2) ist sicher irrational. Entweder x=y=sqrt(2) tut's (d.h. sqrt(2)^sqrt(2) ist rational und wir sind fertig) oder wir nehmen x=sqrt(2)^sqrt(2) und y=sqrt(2). Dann ist nämlich x^y = 2.
In jedem Fall haben wir ein geeignetes x und y gefunden. Leider weiß man nach dem Beweis aber nicht welches.
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Hört sich plausibel an.
Ich hab nur Probleme mit deinem letzten Beweis:
sqrt(2) ist sicher irrational. Entweder x=y=sqrt(2) tut's (d.h. sqrt(2)^sqrt(2) ist rational und wir sind fertig) oder wir nehmen x=sqrt(2)^sqrt(2) und y=sqrt(2). Dann ist nämlich x^y = 2.
Klingt nach so einem Dummy-Beweis. sqrt(2)^sqrt(2) oder (sqrt(2)sqrt(2))sqrt(2) gibt mir doch Zahlen in die Hand. Wieso ist er dann nichtkonstruktiv?
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Du hast zwei Fälle:
- sqrt(2)^sqrt(2) ist rational. Dann ist x^y rational für x=y=sqrt(2).
- sqrt(2)^sqrt(2) ist irrational. Für x=sqrt(2)^sqrt(2) und y=sqrt(2) ist x^y=2 (und das ist rational).
So lange du nicht weisst, ob sqrt(2)^sqrt(2) rational oder irrational ist, ist der Beweis nicht konstruktiv.
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Alles klar