Boole'sche Algebra mit 4-elemtiger Trägermenge -> brauche hilfe :)

[jule37]

hallo zusammen

ich bereite mich grad auf eine klausur für die uni vor und bin da auf ein verständnisproblem gestoßen.
folgendes: gegeben ist eine boole'sche algebra mit den verknüpfungen + (disjunktion), * (konjunktion) und - (komplement), dazu die trägermenge B={0,a,b,1}, Nullelement 0 und Einselement 1
Zu bestimmen sind die jeweiligen verknüpfungstafeln und einige vorgegebene gleichungen zu lösen.

die verknüpfungstafeln habe ich bestimmt, siehe dazu: http://freenet-homepage.de/studio37/boolesche_algebra.JPG

nun lautet eine der gleichungen die ich lösen soll: a * x = b mit x aus B beliebig

nach den verknüpfungstafeln, die ich bestimmt habe, hat diese gleichung keine lösung, da a * 1 = a; a * 0 = 0; a * a = a; a * b = 0

ich habe aber irgendwie das gefühl, dass da was nicht mit rechten dingen zugeht und die gleichung eine lösung haben muss. vielleicht habe ich die verknüpfungstafeln falsch bestimmt? gilt vielleicht das extremalgesetz (x * 0 = 0 und x + 1 = 1) nur für 2-elementige trägermengen? oder ist meine herleitung von a + b = 1 bzw. a * b = 0 nicht in ordnung?

wäre super, wenn mir da jemand helfen kann. es ist unglaublich schwer, sowas ohne feedback zu lernen

vielen dank und einen schönen dienstag noch

[MaLo-Guru]

Die Disjunktions-Tafel ist falsch ...
a+1 = b
b+1 = 0

[Christoph]

Du kannst die Elemente als Mengen interpretieren, z.B.:
1 = {0,1}
a = {0}
b = {1}
0 = {}
* = Schnitt
+ = Vereinigung
- = Komplement bzgl. {0,1}

Alle Axiome der booleschen Algebra sind hier erfüllt, aber hier hat a * x = b keine Lösung, weil {0} geschnitten X != {1} für alle X.

Also gibt es schonmal mindestens eine 4-elementige boolesche Algebra {0,a,b,1}, in der a * x = b keine Lösung hat. Ich würde sagen, dass deine Herleitung der Verknüpfungstafeln richtig ist, also gibt es in keiner 4-elementigen booleschen Algebra eine Lösung zu dieser Gleichung.

MaLo-Guru schrieb:

Die Disjunktions-Tafel ist falsch ...
a+1 = b
b+1 = 0

x + 1 = 1 für alle x folgt aus den Axiomen.

[jule37]

vielen dank für eure antworten. demnach ist meine arbeit ja doch ok. fühlt sich trotzdem irgendwie komisch an. ich bin wohl einfach noch zu unsicher

MaLo-Guru schrieb:

Die Disjunktions-Tafel ist falsch ...
a+1 = b
b+1 = 0

wenn dem so ist, könntest du das mit einer herleitung beweisen? ich dachte nämlich, dass laut dem extremalgesetz für alle x aus B x+1=1 ist und somit auch für a und b. heist dass, dieses gesetz gilt nur für zweielementige trägermengen?

[jule37]

herleitung für a+1=b nicht mehr nötig. hab grad x+1=1 für alle x bewiesen.

danke nochmal für deinen hinweis, christoph. dadurch ist mir klar geworden, dass man die abstrakte BA leichter verstehen kann, wenn man sie sich als potenzmengenalgebra vorstellt