Banachraum im Banach'schen Fixpunktsatz



  • Hi,

    kann mir jemand erklären warum man den Banachraum bzw. einen vollständigen Raum benötigt für den Banach'schen Fixpunktsatz? Man hat ja eine Teilmenge A des Banachraums V welche abgeschlossen ist.
    Da A abgeschlossen ist und die Funktion f: A -> X mit f(A) Teilmenge von A eine strikte Kontraktion ist, konvergiert die Fixpunktiteration doch in A, das ist doch die Definition von einer abgeschlossenen Menge.
    Dass die Funktion f konvergiert ist doch durch die Kontraktion gegeben (Cauchy-Folge), warum also der Banachraum?



  • Mathe-Anfänger schrieb:

    Da A abgeschlossen ist und die Funktion f: A -> X mit f(A) Teilmenge von A eine strikte Kontraktion ist, konvergiert die Fixpunktiteration doch in A, das ist doch die Definition von einer abgeschlossenen Menge.

    Diese Definition ist mir neu.

    Dass die Funktion f konvergiert ist doch durch die Kontraktion gegeben (Cauchy-Folge), warum also der Banachraum?

    Nur in vollständigen Räumen konvergiert jede Cauchyfolge.



  • Bashar schrieb:

    Mathe-Anfänger schrieb:

    Da A abgeschlossen ist und die Funktion f: A -> X mit f(A) Teilmenge von A eine strikte Kontraktion ist, konvergiert die Fixpunktiteration doch in A, das ist doch die Definition von einer abgeschlossenen Menge.

    Diese Definition ist mir neu.

    Dass die Funktion f konvergiert ist doch durch die Kontraktion gegeben (Cauchy-Folge), warum also der Banachraum?

    Nur in vollständigen Räumen konvergiert jede Cauchyfolge.

    Ich hatte einen gedanklichen Fehler gemacht, die abgeschlossene Menge sagt mir ja nur, dass der Grenzwert in ihr liegt, wenn er überhaupt existiert, richtig? Über die Existenz gibt diese mir ja keine Auskunft und deswegen brauche ich die Vollständigkeit.
    Stimmt das so?



  • Nein, nicht ganz. Dass der Grenzwert existiert und dass er in der Menge liegt ist dasselbe. Auch wenn es manchmal so ist, dass Cauchyfolgen in einer passend gewählten Obermenge einen Grenzwert haben (ups, laut Wikipedia gibt es zu jedem metrischen Raum eine "Vervollständigung", dann gäbe es diese also immer).



  • Betrachte mal f(x) = 1/8 * x^2 + 1 mit f:Q->Q. f ist eine strikte Kontraktion auf dem abgeschlossenen Intervall [1.0, 1.2]. Die folge x_n+1 = f(x_n) konvergiert jedoch nicht in Q.

    Die Fixpunkte von f (stetig erweitert auf R) sind nämlich 2*(2+sqrt(2)) und 2*(2-sqrt(2)). Da der erstere größer als 1.2 ist, müsste x_n gegen 2*(2-sqrt(2)) konvergieren. Dies geht aber nicht in Q da 2*(2-sqrt(2)) irrational ist. Es gibt als kein x aus Q so dass x_n -> x. Das liegt daran, dass Q nicht vollständig ist-

    Die Vollständigkeit sorgt dafür, dass jede Folge des Typ x_n+1 = f(x_n) konvergiert, da alle diese Folgen Cauchy-Folgen sind.

    Ich glaube, du könntest die Vollständigkeitsvorrausetzung des Fixpunktsatzes durch die Forderung, dass x_n+1 = f(x_n) konvergiert ersetzen und er würde seine Gültigkeit behalten.

    Abgeschlossen sorgt nur dafür, dass jede konvergente Folge deren Glieder alle in dieser Menge liegen auch in dieser Menge konvergieren.



  • Bashar schrieb:

    Nein, nicht ganz. Dass der Grenzwert existiert und dass er in der Menge liegt ist dasselbe. Auch wenn es manchmal so ist, dass Cauchyfolgen in einer passend gewählten Obermenge einen Grenzwert haben (ups, laut Wikipedia gibt es zu jedem metrischen Raum eine "Vervollständigung", dann gäbe es diese also immer).

    btw. ich habe inzwischen auch ein anschauliches Beispiel gefunden: das Heron-Verfahren auf den rationalen Zahlen. Das Verfahren ist zwar eine Kontraktion (ist ja auch nur eine Fixpunktiteration), aber der Grenzwert ist nicht rational.


Anmelden zum Antworten