Standard für Mathematik

Ich beschraenke mich im folgenden auf zweiwertige Praedikatenlogiken oder klassische Aussagelogiken, und habe das dem oberen Beitrag noch hinzugefuegt. Ansonsten wuerde diese Aussage unter Umstaenden nicht stimmen, das war ein Unachtsamkeit von mir.

Frager schrieb:

pasti schrieb:

Eine unentscheidbare Aussage kann auch als neues Axiom zur Theorie hinzugefuegt werden und die Wiederspruchsfreiheit bleibt erhalten.

Meinst du damit, dass man eine unentscheidbare Aussage willkürlich als wahr oder falsch festlegen kann? Kann man diesen Satz beweisen?

Ja, dass ist korrekt.

Notation: n Und, u Oder, ~ Nicht
Beweis:
Sei eine wiederspruchsfreie Theorie mit Axiomen S=S(1)nS(2)n...nS(i) gegeben. Weiter sei die Aussage A nicht entscheidbar.

Nehme nun an die Theorie wird wiederspruechlich, wenn A hinzugefuegt wird sprich wenn A als wahr definiert wird. 

Also existiert eine Aussage C mit: AnS => C und AnS => ~C

Aus ~(AnS => ~C) folgt C=>~Au~S und da S per Definition wahr ist folgt C=>~A.

Mit der transitivitaet der Implikation folgt AnS => ~A also A=>~A.

Somit folgt der gewuenschte Wiederspruch da A als wahr angenommen wurde.

Ich mache vielleicht mal zwei Beispiele von nicht wiederspruchsfreien Systemen in der klassischen Aussagelogik:

1. Definiere 'falsch' als Axiom. Da Axiome per Definition wahr sind, habe ich den Ausdruck 'falsch ist wahr' in meiner Theorie und daher ist diese wiederspruechlich.

2. Man habe eine Menge von Axiomen die eine wiederspruchsfreie Theorie bilden.
Wenn ich nun zwei Aussagen 'A' und 'B' als Axiome hinzufuege kann es ja sein, dass ich aus A und den anderen Axiomen eine Aussage C herleiten kann und aus B und anderen Axiomen die Aussage 'nicht C'. Dann haette ich einen Wiederspruch.

pasti

Ups, zu langsam. Habe die Seite nicht aktualisiert.

*john 0

Hakan B. schrieb:

Hallo,
weiß hier jemand, ob Mathematik von der ISO standardisiert wurde?

Nein, die Mathematik ist nicht ISO normiert worden. Einfach weil es bei einem sich ständig änderndem Subjekt sinnlos wäre. Die Grundregel finden sich ohnehin in jedem Lehrbuch, die braucht niemand besonders zu erklären, und was die jeweiligen Zeichen bedeuten muß man sowie so aus dem Kontext der jeweiligen Arbeit entnehmen.

Danke euch beiden.

Wie ist das eigentlich bei den natürlichen Zahlen... Müsste die Zahl 10 nicht eigentlich eine 'Ziffer' sein, weil man ansonsten eine 'endlos' Rekursive Definition von Zahlen >= 10 in unserem Dezimalsystem hat? Als es die 0 noch nicht 'gab', hatte die 10 da ein einzelnes Zeichen?

Der Nichtmathematiker

Decimad schrieb:

Als es die 0 noch nicht 'gab', hatte die 10 da ein einzelnes Zeichen?

ja, bei den antiken römern und griechen z.b.

*Ditsch*^^
Und aus welchem Grund besteht unsere 10 aus 2 Zeichen, obwohl es ja keine zusammengesetzte Zahl nach dem Muster 1*10^1 + 0*10^0 sein kann?

Decimad schrieb:

*Ditsch*^^
Und aus welchem Grund besteht unsere 10 aus 2 Zeichen...

das schimpft sich 'stellenwertsystem'. wikipedia hat bestimmt was dazu. wie man zahlen aufschreibt, ist doch egal, so lange jeder weiss, was gemeint ist. du könntest eine 10 z.b. auch als 10 senkrechte striche hinschreiben. an der zahl selber ändert es nix, nur irgendwelche rechnungen mit quersummen kannste dann wohl vergessen.

Also mache ich gedanklich keine Umstände wenn ich mir 10 als 9+1 erkläre (Oder irgendeine andere gültige Kombination der grundlegenden Ziffern oder halt direkt als summe von 10 per Definition gegebenen 1-elementen, auf die man ja alles runterbrechen kann) und alle folgenden Zahlen dann entsprechend unserer Dezimalschreibweise mit (9+1)'er Potenzen?
Also worauf ich eigentlich hinausmöchte, unser Dezimalsystem oder irgendein Stellensystem zu gewisser Basis hat ja die Grundidee ein Grundalphabet so zusammenzusetzen, dass man praktisch mit Zahlen verschiedener Größenordnungen rechnen kann. Da aber die Basis in allen solchen Systemen, die ich kenne, immer selbst als zusammengesetzte Zahl dargestellt ist (obwohl sie nicht nach den Regeln dieses Stellensystems zusammengesetzt sein kann), finde ich das irgendwie unintuitiv

Decimad schrieb:

Also mache ich gedanklich keine Umstände wenn ich mir 10 als 9+1 erkläre (Oder irgendeine andere gültige Kombination der grundlegenden Ziffern oder halt direkt als summe von 10 per Definition gegebenen 1-elementen, auf die man ja alles runterbrechen kann) und alle folgenden Zahlen dann entsprechend unserer Dezimalschreibweise mit (9+1)'er Potenzen?

ich finde das sehr umständlich. stell dir zahlen besser als einheit vor, losgelöst von irgendeiner schriftlichen darstellung. wenn du z.b. das wort 'haus' liest, versuchst du ja auch nicht, einen sinn in der buchstabenkombination zu finden, sondern nimmst es als gegeben hin. aber vielleicht wärst du lieber als chinese geboren?

Decimad schrieb:

Da aber die Basis in allen solchen Systemen, die ich kenne, immer selbst als zusammengesetzte Zahl dargestellt ist (obwohl sie nicht nach den Regeln dieses Stellensystems zusammengesetzt sein kann), finde ich das irgendwie unintuitiv.

das liegt an der 0, die man unbedingt für so'n system braucht. deshalb hat man nur basis-1 andere ziffern und die basis selber erscheint immer als 10.

Verdammt nochmal, diskutiert Ihr immer noch über das Thema? Habt Ihr noch nicht geschnallt, dass meine Frage ursprünglich nur als Trollpost gedacht war? Mann, Mann, Mann.

OK, jetzt artet es aber in einen Flamethread aus. Ich mach hier mal zu.

Thread geschlossen.

Ich weiß jetzt nicht ob ich einen gravierenden gedanklichen Fehler mache oder ob du mich nicht verstehst.

Laut Wikipedia besteht unser Dezimalsystem aus den 10 Ziffern 0...9. Alle Zahlen, die größer, kleiner oder "gebrochen" sind, werden dann dem Muster zi*10^i + ... dargestellt. Ich unterstelle jetzt einfach mal, dass diese Ziffern so definiert sind, dass 1 dem Eins-Element der natürlichen Zahlen entspricht, 2 = 1+Ein-Element, 3 = 2 + Eins-Element etc.

Aber das ist doch keine schlüssige Definition, weil der "Wert" von 10 nirgendwo definiert ist (Weil sie keine Ziffer des Dezimalsystems ist und auch nicht über die andere Rechenvorschrift berechenbar ist) Oo
Ist die Basis eines jeden Stellensystems immer Definiert als "größte" Ziffer + 1 und das wird einfach überall unterschlagen?

Außerdem, wer diskutiert hier eigentlich, fricky erklärt mir doch nur was, das ich nicht raffe

Bashar

Decimad schrieb:

Ist die Basis eines jeden Stellensystems immer Definiert als "größte" Ziffer + 1 und das wird einfach überall unterschlagen?

Naja umgekehrt, man hat zuerst die Basis und dann die nötigen Ziffernsymbole. Das wird auch nicht unterschlagen, wenn man das ganze allgemein aufzieht und von einer Basis b spricht. Dann ist klar, dass die Basis eine Zahl ist und keine Zahlendarstellung.
Bei dir ist die 10 einmal eine Zahlendarstellung im Stellenwertsystem (also 1*10^1 + 0*10^0) und einmal die Zahl 10 (also 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1).

Hrmmm, aus 10 = 1*10^1 + 0*10^0 folgt doch kein Mehrwert? Und dass 10 = 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 steht auch nicht in der Definition des Dezimalsystems auf Wikipedia
Aber mir fällt gerade auf, dass man ja sowieso zwischen "Zehn" und 10 unterscheiden muss (Intuitiv habe ich das wohl auch schon oft getan, aber in diesem Zusammenhang fällt mir das gerade erst jetzt auf) Aber 10 bedeutet andererseits in unsereren Breitengraden ja immer auch "Zehn", wenn nicht gerade eine andere Basis angegeben wird.
Ich schätze mal, dass in der Wikipedia in der Definition des Dezimalsystems mit der 10 die "Zehn" gemeint ist und die ja schon anderweitig definiert ist und der Fakt dort deshalb nicht nochmal erneut genannt ist?

Bashar

Hast du eine mathematische Frage oder gefällt dir bloß Wikipedia nicht?

Ich kenne niemanden, der sich darüber Gedanken macht, darum hatte ich das Gefühl dass ich etwas für andere offensichtliches total Missverstehe. Man kann ja durchaus mal auf einer logisch total falschen Fährte sein (oder zumindest ich^^)

Hakan B. schrieb:

Verdammt nochmal, diskutiert Ihr immer noch über das Thema? Habt Ihr noch nicht geschnallt, dass meine Frage ursprünglich nur als Trollpost gedacht war? Mann, Mann, Mann.

successful troll is successfull

pasti

Decimad schrieb:

Ich kenne niemanden, der sich darüber Gedanken macht, darum hatte ich das Gefühl dass ich etwas für andere offensichtliches total Missverstehe. Man kann ja durchaus mal auf einer logisch total falschen Fährte sein (oder zumindest ich^^)

Die natuerlichen Zahlen werden ja von einem einzigen Element, welches mit 0 bezeichnet wird, und einer injektiven Nachfolgerfunktion F erzeugt welche von IN nach IN\{0} geht (um Zykel zu vermeiden).

Dann definieren wir einfach:

1:=F(0)
2:=F(1)
.
.
.
10:=F(9)

Wobei '10' hier NUR ein Symbol ist nur eine Ansammlung von Pixeln.

Rekursiv kann man mit Hilfe der Nachfolgerfunktion Addition und Multiplikation definieren.

Nun ist es schwierig sich beliebig viele Symbole zu merken. Daher legt man fest, dass man nur noch die Symbole {0,1,...,10} verwenden darf und alle anderen Zahlen durch diese ausdruecken soll.

Ja, wie es dann weiter geht kannst du dir ja jetzt selber ueberlegen.