Integration durch substitution

Hallo !

Kann mir jemand erklären wie das richtig funktioniert ?
Durch den Wiki-beitrag werd ich auch nicht gerade viel schlauer

Bei Substitution ersetzt man doch einen Ausdruck durch z.b. u, aber wie funktioniert das dann mit dem du ??

Was bedeutet das du ??

Kann ich jeden Ausdruck als u anschreiben oder muss man was beachten ??

Irgendwie versteh ich den sinn dahinter nicht: ich ersetzte einen ausdruck durch 'u' und integriere dann, warum verpack ich den ausdruck aber in u ? ich kann ja genau so gut ohne dem u integrieren?

Taurin

Ich mache mal ein Beispiel:

I = integral 2x / (x^2 + 3) dx

Sieht unfein aus. Also Substituiere ich mal den Nenner, vielleicht hilft es ja.

u = x^2 + 3

Dann ist du/dx = 2x, also du = 2x dx

Einsetzen in das Integral

I = integral 1 / u du

hoppla, sieht viel schöner aus. Das Integral kenne ich, also

I = ln(u) + C = ln(x^2 + 3) + C

Und fertig. Alles klar? Sonst frag!

Vielen dank für das Beispiel, aber genau bei dem du/dx = 2x häng ich irgendwie

warum ist du/dx = 2x ?? bedeutet das etwa x²+3 differenziert ?? sry für die blöde frage, aber in unserem Mathebuch wird nur kurz angeschnitten

Meinst du dieses hier ?

Sei F Stammfunktion von f, also F' = f und u irgendeine differenzierbare Funktion.

Da nach der Kettenregel die zusammengesetzte Funktion F o u Stammfunktion von f(u(x)) * u'(x) ist, gilt:

Int_a^b f(u(x)) * u'(x)dx = (F o u)(b) - (F o u)(a) = F(u(b)) - F(u(a))

Andererseits gilt natürlich

F(u(b)) - F(u(a)) = Int_u(a)^u(b)f(x)dx

Zusammengenommen gilt also:

Int_u(a)^u(b) f(x)dx = Int_a^b f(u(x)) * u'(x)dx

Das ist die Begründung der partiellen Integration mit der Substitution u.

Das Beispiel von Taurin entsteht mit u(x)=x^2+3.

Taurin

Zur Schreibweise: du/dx ( sprich: deh uh nach deh ix ) bedeutet: Leite die Funktion u nach x ab. Den Beweis für deine Integrationsregel hat dir u_ser-l hingemalt.

Versuche doch mal, eine Stammfunktion von (x^2 + 1) / (x^3 + 3x) auszurechnen. Das geht fast so wie bei meinem Beispiel.

Und wenn du das kannst, rechnest du mal (etwas anspruchsvoller) das Integral von sqrt(1-x^2) mit den Grenzen x=0..2*pi aus.

Wenn du Tipps brauchst, frag einfach.

Danke !! Das hilft mir schon mal weiter.

Den Beweis muss ich mir morgen nochmal in Ruhe anschaun.

bei (x^2 + 1) / (x^3 + 3x) bekomm ich die Stammfunktion 3 * ln(x^3 + 3x) heraus, hier habe ich den Nenner substituiert.
Was mir dabei aufgefallen ist, ist es absicht dass der Nenner nach dem Ableiten so aussieht wie der Zähler ? (in dem Fall 3* (x^2 +1) ) und dann den zähler durch du ersetzen ?

Beim anderen Beispiel sqrt(1-x^2) versteh ich nicht ganz wie ich da vorgehen muss, ich würde 1-x^2 substituieren

Taurin

Die Beispiele mit den Brüchen waren schon so konstruiert, dass es hübsch aufgeht Aber dein Ergebnis ist richtig!

Für sqrt(1-x^2): Erstmal versuchst du, 1-x^2 zu substituieren. Wo ist das Problem dabei? Dann schaust du dir mal die Formal sin(y)^2 + cos(y)^2 = 1 an. Vielleicht hilft das ja

Also ich versteh bei dem 2. Beispiel nicht wie ich du richtig einsetze.

u = 1-x^2

du/dx = -2x -> du = -2x * dx

Int_ sqrt(u) du kann ich ja jetzt nicht einfach verwenden, die -2x stören hier oder ?

Ah, wir kommen der Wahrheit näher: Bei der Substitutionsregel führt leider nicht jede Substitution zum Ziel, weil diese inneren Ableitungen oft nicht so hübsch aufgehen (hier deine -2x).

Aber ich bin ja ein netter Kerl und gebe dir mal einen Tipp:
die Gleichung 1 = cos(u)^2 + sin(u)^2 kann man auch schreiben als 1 - sin(u)^2 = cos(u)^2

Bring dich das auf eine Idee?

(Ich gehe mal davon aus, dass du den Satz des Pythagoras 1 = cos(u)^2 + sin(u)^2 kennst?)