Lineare Abhängigkeit

Sei V ein reeller Vektorraum und a,b,c,d in V

v1 = a+b+c+d
v2 = 2a+2b+c-d
v3 = a+b+3c-d
v4 = a-c+d
v5 = -b +c-d

Wie kann man OHNE zu rechnen zeigen dass v1-v5 linear abhängig sind?

ich bin kein mathematiker, sehe das nicht sofort

danke für di4e hilfe.

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müssen mathematiker eigentlich die axiome für vektorräume oder ähnliches auswendig können?

Christoph

shisha schrieb:

Sei V ein reeller Vektorraum und a,b,c,d in V

v1 = a+b+c+d
v2 = 2a+2b+c-d
v3 = a+b+3c-d
v4 = a-c+d
v5 = -b +c-d

Wie kann man OHNE zu rechnen zeigen dass v1-v5 linear abhängig sind?

Betrachte den Vektorraum, der von {a, b, c, d} aufgespannt wird. Der heißt auch span({a, b, c, d}). Dieser Vektorraum ist dann höchstens 4-dimensional, weil er von 4 Vektoren erzeugt wird. Da v1, v2, v3, v4, v5 alle in diesem höchstens 4-dimensionalen Vektorraum liegen, müssen die linear abhängig sein.

shisha schrieb:

müssen mathematiker eigentlich die axiome für vektorräume oder ähnliches auswendig können?

Ich habe diese Axiome nie gezielt auswendig gelernt. Aber spätestens nach einigen Beweisen kennt man die auch so (IMHO), denn bei diesen Axiomen sind keine großen Überraschungen dabei.

Wenn man aus Versehen ein Axiom hinschreibt, dass sich eigentlich schon aus den anderen ergibt, ist das ja erstmal kein Fehler.

shisha schrieb:

Wie kann man OHNE zu rechnen zeigen dass v1-v5 linear abhängig sind?

5 (oder mehr) Vektoren im 4-dimensionalen Vektorraum sind immer linear abhängig.

shisha schrieb:

müssen mathematiker eigentlich die axiome für vektorräume oder ähnliches auswendig können?

Selbstverständlich. Wie könnte man mit etwas umgehen, dessen Definition man nicht kennt ?

Bashar

u_ser-l schrieb:

5 (oder mehr) Vektoren im 4-dimensionalen Vektorraum sind immer linear abhängig.

Woher weißt du, dass dim(V)=4 ist?

Selbstverständlich. Wie könnte man mit etwas umgehen, dessen Definition man nicht kennt ?

Die Frage hängt wohl eher an der Bedeutung von "auswendig kennen". Wenn man sich hinreichend intensiv mit einer Theorie auseinander setzt, kann man die Definitionen normalerweise schon aufsagen bzw. -schreiben, aber man würde sie eher spontan formulieren und nicht irgendeine irgendwann mal gelernte Formulierung verwenden.

Ben04

Bashar schrieb:

u_ser-l schrieb:

5 (oder mehr) Vektoren im 4-dimensionalen Vektorraum sind immer linear abhängig.

Woher weißt du, dass dim(V)=4 ist?

Braucht er nicht zu wissen und kann auch nicht bestimmt werden. Es reicht aber zu bemerken, dass dim [a,b,c,d] ≤4 da sich alles in dem Untervektorraum abspielt.

Bashar

Ben04 schrieb:

Braucht er nicht zu wissen und kann auch nicht bestimmt werden.

Ach? Hat er aber behauptet.

Jester

Bashar schrieb:

Ben04 schrieb:

Braucht er nicht zu wissen und kann auch nicht bestimmt werden.

Ach? Hat er aber behauptet.

Echt? Wo?

Bashar

5 (oder mehr) Vektoren im 4-dimensionalen Vektorraum sind immer linear abhängig.

Wenn wir mal davon ausgehen, dass der Satz sich nicht spontan aus zufälligen Entladungen manifestiert hat, dann soll das ein Beweis dafür sein, dass die Vektoren v1 bis v5 linear abhängig sind. Der einzige Vektorraum, von dem an der Stelle bisher die Rede war, ist V, und damit ist ohne weitere Zusätze klar, dass "im 4-dimensionalen Vektorraum" sich auf V beziehen muss.

Eventuell lass ich mir noch plausibel machen, dass der Unterraum <a,b,c,d> gemeint ist, aber von dem kennen wir die Dimension auch nicht.

Jetzt betreibst du Antiscoping

Bashar schrieb:

5 (oder mehr) Vektoren im 4-dimensionalen Vektorraum sind immer linear abhängig.

Wenn wir mal davon ausgehen, dass der Satz sich nicht spontan aus zufälligen Entladungen manifestiert hat, dann soll das ein Beweis dafür sein, dass die Vektoren v1 bis v5 linear abhängig sind. Der einzige Vektorraum, von dem an der Stelle bisher die Rede war, ist V, und damit ist ohne weitere Zusätze klar, dass "im 4-dimensionalen Vektorraum" sich auf V beziehen muss.

Eventuell lass ich mir noch plausibel machen, dass der Unterraum <a,b,c,d> gemeint ist, aber von dem kennen wir die Dimension auch nicht.

I1: Vektorraum ~ V und u_ser-l dachte dim(V) == 4
I2: Vektorraum ~ <a,b,c,d> und u_ser-l hat 'höchstens' vergessen.

I2 ist offensichtlich viel wahrscheinlicher, und du versuchst dich nur herauszureden, weil du offensichtlich nur I1 gesehen hast.

@kenner des bashar:

thx. Du darfst Dich jetzt einmal (1-mal) "kenner des u-ser_l" nennen.