Ableitung eines Oberflächen-Integrals

Gegeben ist das Integral über eine Fläche im dreidimensionalen Raum. Der Integrand f(q) ist eine reellwertige Funktion, wobei $\vec{q}$ ein reeller Vektor der Länge n ist. Die Fläche $\eta$ selbst ist ebenfalls abhängig von $\vec{q}$ (man stelle sich z.b. ein Dreieck mit gegebenen Ecken $x\_1,x\_2,x_3$ vor, wobei die Ecken von $\vec{q}$ abhängen).

Gesucht ist also folgende Ableitung:
$\frac{d}{dq}$ $\int_{\eta(\vec{q})} f(\vec{q}) \ dA$

Sowohl die Funktion f als auch die Parametrisierung von η können als hinreichend glatt angenommen werden.

Huch... bei dem $\frac{d}{dq}$

\frac{d}{dq}

scheint Latex zu streiken?

Ach ja... über hübsche Formeln freue ich mich natürlich am meisten. Aber gute Stichworte zum Nachschlagen oder Ansätze machen mich auch glücklich

Du könnstest umparametriesieren so dass $\eta$ nicht mehr von $q$ abhängt. wenn alles hinreichend glatt kannst du dann differentation und integration vertauschen

Wie stellst du dir vor, dass ich umparametrisieren könnte? Die Fläche (bei mir in der Regel ein Dreieck oder ein Viereck) bzw. deren Eckpunkte hängen von q ab. Das kann ich mir doch nicht wegdichten?!

StarCraftFeuerteufel

$\frac d {dq}$

Mathematikmodus ( $...$ ) nicht vergessen

latex $\frac d {dq}$ /latex

wegdichten nicht, aber als integrand schreiben. Transformiere auf ein referenzgebiet was nicht von q abhängt. Sagen wir ma $$\hat\eta$ sei dein refenzgebiet und $\phi : \hat\eta \rightarrow \eta$ sei ma die vermittelnde abbildung. Nun Integraltransformation:

$\int_\eta f(q) d A = \int_{\hat\eta} f(q) |D\phi| d A$

wobei $$|D\phi|$$ die Funktionaldeterminate von $\phi$ ist.