cauchy produkt
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wie komme ich mit hilfe des cauchyprodukts auf die reihendarstellung son sin^2(x)?
ich komme da immer wieder auf glieder die unendlich im exponenten stehen haben müssten...
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monat schrieb:
wie komme ich mit hilfe des cauchyprodukts auf die reihendarstellung son sin^2(x)?
ich komme da immer wieder auf glieder die unendlich im exponenten stehen haben müssten...
wie soll den das gehen? wie wär's wenn du das cauchy-produkt einfach als polynommultiplikation ansiehst, funktioniert genau so nur mit beliebig großen exponenten...
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hmm wenn ich das so einsetze wie ichs lese bekomme ich:
$ \sin(x)^2 = \sum^{n}_{k=0}{(-1)^n* \dfrac{x^{2n+2}}{(2n-2k+1)! * (2n+1)!}} $aber da falls es überhaupt so stimmt komme ich nicht weiter
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monat schrieb:
hmm wenn ich das so einsetze wie ichs lese bekomme ich:
$ \sin(x)^2 = \sum^{n}_{k=0}{(-1)^n* \dfrac{x^{2n+2}}{(2n-2k+1)! * (2n+1)!}} $aber da falls es überhaupt so stimmt komme ich nicht weiter
muss das beim zweiten term im nenner nicht (2k + 1)! sein?
dann könnte sich was machen lassen -- das ist fast die binomialverteilung, bis auf die ungeraden fakultäten...
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ich gebe mich geschlagen:
das ergebnis steht fest das habe ich jetzt über additionstheorem gemacht aber dennoch:
kann mir einer das cauchyprodukt an diesem beispiel erklären=?
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Ok, das Cauchy-Produkt sagt dir folgendes (jedenfalls wenn mindestens eine der beiden Reihen absoult konvergiert - ist bei sin aber gegeben):
\[ \left(\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\right)\cdot\left(\sum_{n=0}^{\infty}b_{n}\right)=\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}a_{k}\cdot b_{n-k}\]Außerdem weißt du (wird gleich gebraucht):
\[ {2\left(n+1\right) \choose 2k+1}=\frac{\left(2\left(n+1\right)\right)!}{\left(2k+1\right)!\cdot\left(2\left(n+1\right)-2k-1\right)!}=\frac{\left(2n+2\right)!}{\left(2k+1\right)!\cdot\left(2\left(n-k\right)+1\right)!}\]Damit kriegst du dann:
\begin{eqnarray*} \left(\sin\left(x\right)\right)^{2} & = & \left(\sum_{n=0}^{\infty}\underbrace{\left(-1\right)^{n}\cdot\frac{x^{2n+1}}{\left(2n+1\right)!}}_{=:a_{n}}\right)\cdot\left(\sum_{n=0}^{\infty}\underbrace{\left(-1\right)^{n}\cdot\frac{x^{2n+1}}{\left(2n+1\right)!}}_{=:b_{n}}\right)\\ & = & \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}\left(\left(-1\right)^{k}\cdot\frac{x^{2k+1}}{\left(2k+1\right)!}\cdot\left(-1\right)^{n-k}\cdot\frac{x^{2\left(n-k\right)+1}}{\left(2\left(n-k\right)+1\right)!}\right)\\ & = & \sum_{n=0}^{\infty}\sum_{k=0}^{n}\left(\left(-1\right)^{n}\cdot\frac{x^{2n+2}}{\left(2k+1\right)!\cdot\left(2\left(n-k\right)+1\right)!}\right)\\ & = & \sum_{n=0}^{\infty}\frac{-1}{\left(2n+2\right)!}\sum_{k=0}^{n}\left(\left(-x^{2}\right)^{n+1}\cdot{2\left(n+1\right) \choose 2k+1}\right)\\ & = & \sum_{n=0}^{\infty}\frac{-1}{\left(2n+2\right)!}\cdot\left(-2x^{2}\cdot\left(-4x^{2}\right)^{n}\right)\end{eqnarray*}Wobei ich die letzte Identität (die Summe mit den Binomialkoeffizienten umgewandelt zu mit Maple ausgerechnet habe. Wenn man rückwärts geht, dürfte man es aber wahrscheinlich recht schnell über Induktion oder irgendwas anderes zeigen können. Im Moment habe ich dazu keine Lust, falls du es nicht selber schaffst, kann ich es aber mal probieren.
Felix
EDIT: Ich LIEBE \LaTeX