Chladnische Figuren

Hi,

Chladnische Figuren (http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Clafig1.jpg&filetimestamp=20070828111213) sind Lösungen der Wellengleichung mit Randbedingungen. Was sind nun die Randbedingungen einer Metallplatte, die am Rand _nicht_ eingespannt ist (sondern z.b. in der Mitte festgemacht)

SeppJ

Nun, so ganz naiv würde ich mal sagen, dass die Auslenkung in der Mitte dann 0 sein sollte.

SeppJ schrieb:

Nun, so ganz naiv würde ich mal sagen, dass die Auslenkung in der Mitte dann 0 sein sollte.

Das reicht aber nicht für ein diskretes Anregungsspektrum, weil dann jede lösung sin(kx)*sin(py), k^2+p2=w^2 möglich wäre.

Du musst mir mal helfen: Was für Wellen betrachtest du denn auf deiner Metallplatte? Was bedeutet es anschaulich, die Wellengleichung auf einer am Rand eingespannten Platte zu lösen?

Ich nehme mal an, du wirst da in ähnliche Schwierigkeiten laufen, wie man sie in der Mechanik bei Stabwerken hat: Ist dein Stabwerk statisch bestimmt (dein Gleichungssystem hat genauso viele Unbekannte wie Gleichungen), kannst du ohne Probleme alle Kräfte im Stabwerk bestimmen. Ist es unterbestimmt, musst du Elastostatik machen. Dann verbiegen sich die Stäbe und du bekommst ganz neue Gleichungen dazu, die sich aus physikalischen Überlegungen ableiten lassen.

Du hast für deine pDGL zu wenig Randbedingungen? Dann brauchst du welche dazu. Die kommen aus der Physik. Wenn du Pech hast, verbeult sich deine Platte, oder irgendwelche anderen, hässlichen Sachen passieren. (Frag mich aber bitte nicht, was... Mechanik fand ich immer gruselig... )

SeppJ

Victor Zoi schrieb:

SeppJ schrieb:

Nun, so ganz naiv würde ich mal sagen, dass die Auslenkung in der Mitte dann 0 sein sollte.

Das reicht aber nicht für ein diskretes Anregungsspektrum, weil dann jede lösung sin(kx)*sin(py), k^2+p2=w^2 möglich wäre.

Und wie kommst du zu der Annahme, dass dies nicht so wäre, wenn die Platte an nur einem Punkt eingespannt ist?

Mups:
Ich weiß nicht genau, was für Wellen das sind. Folgendes ist die Situation:

hier sieht man, wie eine Platte (nicht unbedingt aus Metall) in der Mitte mit einem Signalgeber verbunden ist. Die Körner auf der Platte werden durch Vibrationen bewegt, außer an den Knotenlinien der Schwingung, wodurch man letztere gut erkennt.

Ich sehe:
a) es existiert eine Wellengleichung -- von welcher Form auch immer -- die die Schwingung der Platte beschreibt und den Schwingungsmodus mit einer Frequenz koppelt. Es ist aber anzunehmen, dass in genügend niedriger Ordnung das ganze _die_ Schwingungsgleichung (Laplace - (d/dt/c)^2) f(x,t) = 0 ist, wobei f z.B. die Auslenkung der Platte darstellt. Ihr physikalischer Ursprung ist sicher die Dehnungs-Spannungsrelation im Metall.

Nun benötige ich die Randbedingungen für f, zum Beispiel am Rand der Platte. Wie die Physik mir diese liefert weiß ich nicht -- genau das ist die Frage. Was unterscheidet den Rand vom Inneren? Kann am Rand eine Krümmung parallel zum Rand auftreten?

b) (SeppJ) Ton und Bild geben deutliche Hinweise darauf, dass die Resonanzfrequenzen in erster Näherung als diskret angenommen werden können.

SeppJ

Ich habe auch schonmal gesehen, dass für solche Ränder als Randbedingung genommen wurde, dass die Krümmung am Rand 0 ist. Das hat dann eine Art stehende Welle zur Folge. Dies könnte also sein, was du suchst.