Ordnungsrelation, maximales und minimales Element.

[u_ser-l]

Vielleicht mal was Grundlegendes:
Die Relation >= auf N ist, wie der Name Relation schon sagt, eine Teilmenge von N x N mit bestimmten Eigenschaften. Genauer:

>= := {(1,1), (2,1), (3,1), ..., (2,2), (3,2), (4,2), ..., (3,3), (4,3), (5,3), ... }

Relationen können frei gewählt werden, solange sie die verlangten Eigenschaften haben (Transitivität usw.)
Das Zeichen ">=" ist nur ein *Name* für eine Teilmenge, die oben aufgezählte Menge könnte auch "R" heißen:

R := {(1,1), (2,1), (3,1), ..., (2,2), (3,2), (4,2), ..., (3,3), (4,3), (5,3), ... }

dann würde man schreiben "xRy" für "x >= y". Und mit "R" würde dann auch keine Verwirrung mit der umgekehrten Relation "<=" entstehen. Relationen bestehen nicht nur zwischen Zahlen, man könnte auch definieren R := "... ist mindestens so hoch wie ...", das wäre dann eine Teilmenge von M x M mit M := Menge aller Häuser.

[mathematikpraktikant]

Diese Grundlagen sind mir bekannt, aber wie kann man für diesen Beweis

...
Die Existenz minimaler Elemente erhält man hieraus wie folgt:
Sei ≤' die Umkehrrelation von ≤, d.h. für alle x, y $\in$ M ist x ≤' y := <=> x ≥ y.
Dann ist ≤' eine Ordnung auf M.
Also existiert nach dem soeben Gezeigten ein maximales Element bzgl. der Ordnung ≤' in M. Dieses ist ein minimales Element bezüglich der Ordnung ≤.

ein praktisches Zahlenbeispiel liefern?
Ein maximales Element bezüglich ≤' ist in meinen Augen auch ein maximales Element bezüglich ≤ bei gleichbleibender, bekannter Rangordnung der natürlichen Zahlen. Habe ich erstmal ein maximales Element der Menge M, ist es doch egal wie ich die Relationen definiere(?). Bloß in dem zu beweisenden Satz steht nichts davon geschrieben, das M Teilmenge IN ist, da liegt vermutlich mein Denkfehler.

[Bashar]

mathematikpraktikant schrieb:

Habe ich erstmal ein maximales Element der Menge M, ist es doch egal wie ich die Relationen definiere(?).

Nein, ohne Ordnungsrelation ist der Begriff "maximales Element" sinnlos. Erst die Menge zusammen mit der Ordnungsrelation, die geordnete Menge, hat vielleicht ein Maximum.

[SG1]

mathematikpraktikant schrieb:

Ein maximales Element bezüglich ≤' ist in meinen Augen auch ein maximales Element bezüglich ≤

Nein. ≤' und ≤ sind unterschiedliche Relationen.

bei gleichbleibender, bekannter Rangordnung der natürlichen Zahlen.

Vergiss, dass Du irgendwann mal in der Grundschule eine bestimmte Relation ≤ genannt hast. Die ist hier vollkommen irrelevant.

Habe ich erstmal ein maximales Element der Menge M, ist es doch egal wie ich die Relationen definiere(?).

Nein. Maximale Elemente sind Eigenschaften von Relationen.

[mathematikpraktikant]

SG1 schrieb:

Nein. Maximale Elemente sind Eigenschaften von Relationen.

Nagut, aber wie sieht es denn mit einem Zahlenbeispiel aus?
Ich poste noch einmal das Beispiel von "..,-":

..,- schrieb:

Bezüglich der Ordnung ≤' ist
3 ≤' 2 ≤' 1
=> für alle x in {1,2,3} ist x≤'1 => 1 ist max.element (bezüglich ≤')

Es ist ja auch x ≤' y := <=> x ≥ y.
Warum ist hier also 1 maximales Element, wenn doch 3 ≤' 2 ≤' 1 das selbe ist wie 3 ≥ 2 ≥ 1

[gagagagagagagagagaggagag]

mathematikpraktikant schrieb:

Warum ist hier also 1 maximales Element, wenn doch 3 ≤' 2 ≤' 1 das selbe ist wie 3 ≥ 2 ≥ 1

Schreib' uns doch bitte die Definition des maximalen (und minimalen) Elements auf.

[mathematikpraktikant]

Mache ich glatt:

a ist maximales Element von M :$\Leftrightarrow$ $\forall$ b $\in$ M: a ≤ b $\Rightarrow$ a = b

a ist minimales Element von M :$\Leftrightarrow$ $\forall$ b $\in$ M: b ≤ a $\Rightarrow$ a = b

[gagagagagagagagag]

mathematikpraktikant schrieb:

Mache ich glatt:

a ist maximales Element von M :$\Leftrightarrow$ $\forall$ b $\in$ M: a ≤ b $\Rightarrow$ a = b

a ist minimales Element von M :$\Leftrightarrow$ $\forall$ b $\in$ M: b ≤ a $\Rightarrow$ a = b

und jetzt noch die Voraussetzungen.

[mathematikpraktikant]

gagagagagagagagag schrieb:

und jetzt noch die Voraussetzungen.

(Z,≤) sein ein geordnetes Paar, M $\subset$ Z, a $\in$ M.

[mathematikpraktikant]

Und jetzt?

[gagagagagagagagagagag]

ist (Z,≥) auch ein geordnetes Paar?

[mathematikpraktikant]

Ja, ist auch ein georndetes Paar, weil die Umkehrrelation einer Ordnungsrelation auch eine Ordnungsrelation ist.

[mathematikpraktikant]

Ok, kommen wir zur entscheidenden Frage,
wieso ist 1 maximales Element bei 3 ≥ 2 ≥ 1
?

[lolz0r]

mathematikpraktikant schrieb:

Ok, kommen wir zur entscheidenden Frage,
wieso ist 1 maximales Element bei 3 ≥ 2 ≥ 1
?

weil 3 < 1 und 2 < 1 ist, sieht man doch!

[blafoobar]

1 ist maximal bezüglich <=' !!!

Sieht man doch sofort an 3 <=' 2 <=' 1

Es kommt immer darauf an bezüglich welcher Relation du es betrachtest!

[u_ser-l]

meine Güte, schreibt doch "R" statt "<=" und "S" statt ">=" - von wegen "Grundlagen bekannt"

[richtungsweis0r]

3 ≥ 2 ≥ 1

hier entscheiden die symbole > und < über größer/kleiner bezüglich der einzelnen elemente (hier: zahlen) und die richtung entscheidet über maximal/minimal.
richtung links: minimal. richtung rechts: maximal.

ich frage mich gerade, wie die richtung in der mathematik diesbezüglich definiert ist. *grübel*

[mathematikpraktikant]

richtungsweis0r schrieb:

3 ≥ 2 ≥ 1
hier entscheiden die symbole > und < über größer/kleiner bezüglich der einzelnen elemente (hier: zahlen) und die richtung entscheidet über maximal/minimal.
richtung links: minimal. richtung rechts: maximal.

Okay, wenn das so ist, das klingt einleuchtend!
Das rechts in Richtung maximales Element geht, habe ich noch in keinen Grundlagen gelesen, aber was solls.

[u_ser-l]

bei Ordnungsrelationen kann man im allgemeinen vom verwendeten Symbol her gar nichts sagen, auch "Richtungen" sind überhaupt nicht einheitlich festgelegt, da ist also gar nichts einleuchtend.

Beispielweise bei der "umgekehrten lexikographischen Ordnung" von Termordnungen wird <= verwendet, wenn der linke Term lexikographisch größer(!) ist als der rechte.

< und > bei Zahlen sind wohl eher aus bildlichen Gründne gewählt (das größere Element steht dort, wo die Klammer weiter auseinander ist).

[richtungsweis0r]

u_ser-l schrieb:

bei Ordnungsrelationen kann man im allgemeinen vom verwendeten Symbol her gar nichts sagen, auch "Richtungen" sind überhaupt nicht einheitlich festgelegt, da ist also gar nichts einleuchtend.

Beispielweise bei der "umgekehrten lexikographischen Ordnung" von Termordnungen wird <= verwendet, wenn der linke Term lexikographisch größer(!) ist als der rechte.

< und > bei Zahlen sind wohl eher aus bildlichen Gründne gewählt (das größere Element steht dort, wo die Klammer weiter auseinander ist).

das kann ja nicht sein, denn wieso ist dann bei
3 ≤' 2 ≤' 1
die 1 das maximale Element?
obiges ist doch das gleiche wie 3 ≥ 2 ≥ 1
also spielt hier die Richtung eine Rolle.