Extrema einer Funktion mehrerer Veränderlicher

hallo ich habe die Funktion:

f(x,y) = x^2 +2xy -3y^2 +y

gegeben, wobei D = {(x,y) | x>=0, y>=0, x+y <= 1}

und nun soll ich diese auf Extrema untersuchen.

Mit dem Punkt im Inneren von D habe ich keine Probleme, der ist ein Sattelpunkt

Aber wie gehe ich jetzt am Rand vor?

Maxi

du willst also die Randpunkte der Fumnktion auf extrema untersuchen?

Dein Bereich wird durch drei Geraden begrenzt:

x=0, y=0 und x+y=1

Diese kannst du jetzt in die Funktion einsetzen und hast somit nur noch eine Funktion abhängig von einer Variable. Dan kannste dann nochma extrema bestimmen.

also f'(x,0) = 0, f'(0, y)=0 oder f'(x, 1-x)=0

soweit so klar,

zB habe ich für x=0 y <= 1
ein Maximum bei (0, 1/6)
gefunden

aber ich weiß noch nicht wie ich mit den ecken umgehen soll...
zB bei der geraden, dort ist eine umgedrehte Parabel...
demnach müssten (0,0) und (0,1) ja Minima sein...

was aber wenn ein Eckpunkt von einer anderen Seite gesehen aus ein Maximum wäre?
Oder wäre es eindeutig ein Minimum wenn die andere Gerade dort auch fallen würde?
Was ist mit den unendlich vielen anderen Folgen die in meine Ecken führen?

Oder stell ich mir jetzt alles zu kompliziert vor?

geloescht

Extrema der Funktionen, die durch Einsetzen der Randgeraden entstehen, müssen nicht zwangsläufig Randmaxima bzw. -minima der ursprünglichen Funktion sein! Weiß jetzt aber auch nicht auf Anhieb, wie man das überprüfen könnte...
geloescht

knivil

Na man schaut sich den Wert etwas "links", bzw. etwas "rechts" an.

ein bisschen ausführlicher wäre echt nett

es geht ja nur um die vorgehensweise und nicht um die lösungen

Phoemuex

Allgemeiner würde man auf dem Rand den Satz über Extrema mit Nebenbedingungen verwenden. Der erste Wikipedia-Artikel, den ich dazu gefunden habe, ist der hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Multiplikator

Felix

Daniel E.

Aber das hilft natürlich auch nicht so direkt weiter, damit findet er eben die Extrema auf dem Rand, aber das müssen nicht unbedingt Extrema auf D sein, aber es ist schon mal kein schlechter Kandidat. (Man kann natürlich auch Ungleichungsnebenbedingungen in Lagrange-Funktionen einarbeiten, das nennt sich dann Kuhn-Tucker-Verfahren. Dürfte ziemlich mit Kanonen auf Spatzen geschossen sein.)

Angenommen, Du findest auf dem Rand von D einen Punkt P, der dir wie ein lokales Maximum vorkommt (nach Lagrange oder Einsetzen oder wie auch immer). Du berechnest grad(f(P)) und der zeigt "nach D hinein", also ist dieser Punkt offenbar kein lokales Maximum auf D, sondern nur auf dem Rand @D. Da muss man eben ein bißchen aufpassen.

knivil

shisha schrieb:

ein bisschen ausführlicher wäre echt nett

es geht ja nur um die vorgehensweise und nicht um die lösungen

f(x-h) ansehen, f(x+h) ansehen und mit dem berechneten Extremwert vergleichen. Sind beide Werte kleiner als der Extremwert f(x), so handelt es sich bei f(x) um ein lokales Maximum. Sind beide Werte groesser, so handelt es sich bei f(x) um ein Minimum. Ist eines kleiner und das andere groesser, dann ist es kein Extrema. Dabei ist h geeignet klein zu waehlen.

Verstaendlicher?