Volumen und Schwerpunkt

[rundling]

Ich möchte das Volumen und den Schwerpunkt folgenden Körpers bestimmen:

Es handlet sich um den Teil einer Kugel

die Kugel hat Radius 4

wenn man den quesrschnitt betrachtet halbiere man die kugel zuerst, so dass man einen halbkreis vor sich hat, und nun schneide man noch im winkel von 60 grad von unten aus betrachtet ab so dass man eine art eistüte erhält.
ich versuche den querschnitt mal zu zeichnen:

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ich hoffe man kann sich etwas daruntervorstellen

ich führe nun kugelkoordinaten ein

x = r* cos(phi) * cos(theta)
y = r * sin(phi)* cos(theta)
z = r* sin (theta)

Nun versuche ich das Volumen zu berechnen:

$ \displaystyle\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \displaystyle\int_{0}^{2\pi} \displaystyle\int_{0}^{4} r^2 \cdot \cos(\theta) dr \; d\phi \; \dtheta $

also:

integral von 1/3 Pi bis Pi /2
integral von 0 bis 2Pi
integral von 0 bis 4
r^2 * cos( theta)
dr dphi dtheta

da kommt bei mir 17.95 raus

wenn ich nun aber den schwerpunkt berechnen will

komme ich bei theta ins straucheln ich bekomme nicht wie erwartet Pi/2 raus sondern irgendwas undefiniertes

wenn ich z berechnen will indem ich r* sin(theta) einsetze erhalt ich zu allem überfluss sogar ein negatives ergebnis...
was mache ich falsch?

[rundling]

also ich habe jetzt echt ein verständnisproblem

wenn ich den schwerpunkt berechnen will, müsste es doch klappen
wenn ich

r_s =
integral von 1/3 Pi bis Pi /2
integral von 0 bis 2Pi
integral von 0 bis 4
r* r^2 * cos( theta)
dr dphi dtheta

phi_s =
integral von 1/3 Pi bis Pi /2
integral von 0 bis 2Pi
integral von 0 bis 4
phi * r^2 * cos( theta)
dr dphi dtheta

theta_s =
integral von 1/3 Pi bis Pi /2
integral von 0 bis 2Pi
integral von 0 bis 4
theta*r^2 * cos( theta)
dr dphi dtheta
setze oder?

ich erhalte:
r= 3.00
phi = Pi
theta ist etwa 1.22

das ist für mich undenkbar da der schwerpunkt irgendwo auf der z-achse liegen müsste

also habe ich gedacht ich mache das ganz mal so

x_s =
integral von 1/3 Pi bis Pi /2
integral von 0 bis 2Pi
integral von 0 bis 4
r* cos(phi)*cos(theta)* r^2 * cos( theta)
dr dphi dtheta

y_s=
integral von 1/3 Pi bis Pi /2
integral von 0 bis 2Pi
integral von 0 bis 4
r* sin(phi)*cos(theta)*r^2 * cos( theta)
dr dphi dtheta

z_s =
integral von 1/3 Pi bis Pi /2
integral von 0 bis 2Pi
integral von 0 bis 4
r* sin(theta)* r^2 * cos( theta)
dr dphi dtheta

nun erhalte ich:
x = y = 0
das finde ich beruhigend, da ich genau das erwarte; aber:
z = 2.800

nun stimmt mein radius mit dem z-wert nicht überein.

mache ich einen prinzipiellen fehler irgendwo?

[SeppJ]

rundling schrieb:

ich führe nun kugelkoordinaten ein

Bis hier hin habe ich aufmerksam gelesen. Kugelkoordinaten sind für das Problem sehr ungeeignet, das System hat Zylindersymmetrie.

Für die weitere Beschreibung empfehle ich dir, die LaTeX-Tags zu verwenden (unten bei den Smilies), LaTeX kannst du ja offensichtlich.

[rundling]

sry
das probel hat leider keine zylinder-symmetrie.
das mit den kugelkoordinaten müsste stimmen.
vlt kann man es sich nur schlecht vorstellen

also von oben betrachtet ist der körper ein kreis
von allen seiten aus eine art kegel mit dem kreisegment oben drauf, also eine art eistüte

Volumen =

$ \displaystyle\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \displaystyle\int_{0}^{2\pi} \displaystyle\int_{0}^{4} r^2 \cdot \cos(\theta) \; dr \; d\phi \; d\theta $

Schwerpunkt, Radius =

$ \displaystyle\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \displaystyle\int_{0}^{2\pi} \displaystyle\int_{0}^{4} r^3 \cdot \cos(\theta) \; dr \; d\phi \; d\theta $

Schwerpunkt- Theta (also Winkel zur Z-Achse):

$ \displaystyle\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \displaystyle\int_{0}^{2\pi} \displaystyle\int_{0}^{4} \theta \cdot r^2 \cdot \cos(\theta) \; dr \; d\phi \; d\theta $

Schwerpunkt Phi (in x-y Ebene):

$ \displaystyle\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \displaystyle\int_{0}^{2\pi} \displaystyle\int_{0}^{4} \phi \cdot r^2 \cdot \cos(\theta) \; dr \; d\phi \; d\theta $

ich komme damit auf (alle werte geteilt durch volumen natürlich)

$ \phi = \pi \\ \theta = 1.22 (in etwa) \\ r = 3 $

nun versuche ich die x,y,z werte zu berechnen:

X-Schwerpunkt

$ \displaystyle\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \displaystyle\int_{0}^{2\pi} \displaystyle\int_{0}^{4} r \cdot \cos(\phi) \cdot \cos(\theta) \cdot r^2 \cdot \cos(\theta) \; dr \; d\phi \; d\theta $

Y-Schwerpunkt:

$ \displaystyle\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \displaystyle\int_{0}^{2\pi} \displaystyle\int_{0}^{4} r \cdot \sin(\phi) \cdot \cos(\theta) \cdotr^2 \cdot \cos(\theta) \; dr \; d\phi \; d\theta $

Z-Schwerpunkt

$ \displaystyle\int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \displaystyle\int_{0}^{2\pi} \displaystyle\int_{0}^{4} r \cdot \sin(\theta) \cdot r^2 \cdot \cos(\theta) \; dr \; d\phi \; d\theta $

und erhalte (durch Volumen natürlich alles)

$ x = y = 0 \\ z = 2.800 (in etwa) \\ $

nun frage ich mich:
der schwerpunkt müsste auf der z-schse liegen also ist theta oben falsch es müsste Pi/2 rauskommen

bei der 2. variante stimmen x und y .
aber z= 2.8 stimmt nicht mit r= 3 überein?

bin verwirrt

[SeppJ]

rundling schrieb:

also von oben betrachtet ist der körper ein kreis
von allen seiten aus eine art kegel mit dem kreisegment oben drauf, also eine art eistüte

Perfekte Beschreibung eines zylindersymmetrischen Problems.

[rundling]

perfekte aufgabenbeschreibung:

Koordinatentransformation im IR3 (Kugelkoordinaten)
Berechnen Sie das Volumen und die Lage des
Schwerpunktes des durch die nebenstehende Zeichnung
gegebenen Kugelausschnittes. Verwenden Sie
R = 4 und a = 2. In Kugelkoordinaten lässt sich
der Bereich leicht beschreiben.

BILD -> hier nicht zu sehen

aber wie man es berechnet hn oder her, ich komme auf verschiedene ergebnisse wo es meiner meinung nach nur ein richtiges geben kann. (das nenn ich mal logik ^^)

[rundling]

also ich hätte gern ein ergebnis oder zumindest eine korrektur von dem was ich verzapft habe...

natürlich kann man das auch in zylinderkoordinaten machen
aber das ist hier nicht erwünscht ausserdem regt es mich auf dass ich das noch nichtr eindeutig gelöst habe

sitze schon seit stunden drüber und frage mich ob der schwerpunkt jetzt bei
(0,0, 2.8)
oder
(0,0, 3)

liegt.

Ich habe einen anderen Thread eröffnet, wo ich nur die verwendeten Formeln aufgeschrieben habe, vlt habe ich einen falschen ansatz genommen?

[SeppJ]

rundling schrieb:

also ich hätte gern ein ergebnis oder zumindest eine korrektur von dem was ich verzapft habe...

Ok:

Volumen:
\begin{equation*} \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{4} r^2 \cdot \cos(\theta) dr d\phi d\theta \end{equation*}
Kann ich absolut nicht nachvollziehen, wie du da drauf kommst. So wie ich das sehe, beschreibt deine Parametrisierung nämlich keine Eistüte, sondern so einen Kugelabschnitt, so eine Art Taco. Alles was danach kommt, ist somit natürlich auch falsch. Vielleicht könntest du erläutern, wie du auf diese Parametrisierung kommst?

Aber frag bitte nicht nach der richtigen Parametrisierung der Eistüte in Kugelkoordinaten, das wäre zu grausam, als das ich das ausrechnen wollte.

edit: Und falls du einen anderen Ansatz als Zylinderkoordinaten suchst: Der Körper ist uas zwei einfachen Körpern zusammengesetzt, einer Halbkugel und einem Kegel. Wenn man beide einzeln nimmt, werden die Formeln sehr einfach - man kann die Ergebnisse auch in jeder Formesammlung finden. Und der Schwerpunkt des Gesamtkörpers ist einfach der mittlere Schwerpunkt beider Teilkörper.

Und Ansatz 2: Falls es unbedingt Kugelkoordinaten sein MÜSSEN: In Zylinderkorrdinaten ist die Parametrisierung deutlich einfacher. Es gibt Formeln um von Zylinder ind Kugelkoordinaten umzurechnen.

[rundling]

da liegt das verständnisproblem^^

das ist keine eistüte sondern eine abgelutschte eistüte also wirklich nur noch ein stück von der kugel also kein kegel mit halbkugel obendrauf ^^

ich wiederum kann mir unter tacoform nichts vorstellen.

denn das ist nicht genau das was ich suche sondern

eine art taco die nochmal zerschnitten wurde

[SeppJ]

Um mal genauer zu beschreiben, was du da integriert hast, will ich mal den Ausdruck
\begin{equation*} \int_{\frac{\pi}{3}}^{\frac{\pi}{2}} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{4} r^2 \cdot \cos(\theta) dr d\phi d\theta \end{equation*}
auseinander nehmen.

Die beiden inneren Integrale:
\begin{equation*} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{4} r^2 \cdot \cos(\theta) dr d\phi \end{equation*}
Diese beschreiben einen Kreis (keine Kugel!) mit Radius 4.

Dieser Kreis wird nun nochmals integriert von pi/3 bis pi/2. Da die Ausrichtung nicht wichtig ist, könnte man auch sagen von 0 bis pi/2-pi/3=pi/6. Da es sich um einem ganzen Kreis handelt, entspricht dies der Inntegration eines Halbkreises von 0 bis pi/3, was den 60° aus der Aufgabenstellung entspricht.

Wenn du nicht dauernd von einer Eistüte sprechen würdest, könnte man diesen Körper tatsächlich mit den anderen Beschreibungen aus der Aufgabenstellung identifizieren. Die Frage ist, wie der 60° Schnitt gemeint ist. Ist er gemeint wie eine Eistüte, so ist das Volumen falsch. Sind die 60° gemeint wie man einen Taco faltet, so passt zumindest das Volumen.

Sollte der Taco richtig sein, so machst du aber dennoch einen Fehler beim Schwerpunkt, da deine Parametrisierung zwei gegenüberliegende Tacos helber Größe beschreibt. Beim Volumen ist das egal, beim Schwerpunkt müssen die Integrationsgrenzen jedoch anders gewählt werden (ich ignoriere hierbei jetzt die Orientierung im Raum):
\begin{equation*} \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} d\theta \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} d\phi \int_{0}^{4} dr (...)\end{equation*}

[rundling]

um mal meine koordinaten zu erklären:

r = Radius, also abstand zum Ursprung
phi = winkel in x-y-ebene [0 bis 2pi]
theta = winkel in x-z achse [-pi/2 bis pi/2]