Nullstelle finden
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Hallo Leute,
ich steh gerade total auf dem Schlauch. Ich muss bei einer Funktion f(x) (die Abhängig ist von einem Parameter k; k ist immer im Intervall [0.1,10]) die Nullstelle finden.
(Link zur Formel: http://www.planet-metax.de/texpaste/images/511fb2ac216cd7ed361cce2fd7c86c72.png )
Ich brauche nur die positive Nullstelle (also x > 0).Ich habe mir die Kurzve mal für k=0.1 plotten lassen (per www.mathe-fa.de):
Kurve f für k=0.1
wie man sieht hat die Kurve ca bei x=0.6 eine Nullstelle.Mein Ansatz war so: Das ist ja ein Bruch, der genau dann Null wird, wenn der Zähler Null wird. Also habe ich den Zähler gleich 0 gesetzt:
e^( -1 / k*(x+1)(1-x) ) = 0
Jetzt wollte ich auf beiden Seiten den ln() anwenden, aber das geht nicht, da ln(0) nicht geht. Da ich nicht weiter wusste, habe ich mir auch mal diese Funktion plotten lassen, und irgendwie ist das ganz komisch:
Plot des Zählers
Wie man sieht hat diese Kurve NIE eine Nullstelle. Wie kann denn das sein, dass der Zähler offenbar NIE Null wird, aber der Bruch (sprich die gesamte Funktion f) schon Null wird?
Was ich auch nicht verstehe: Neben dem Plot vom Zähler habe ich mir noch die Wertetabelle vom Zähler ausgeben lassen:
Wertetabelle vom Zähler
Wie kann es sein, dass laut Wertetabelle die Funktion in [-0.8, 0.8] Null ist, wenn man doch am Graph klar sieht, dass die Funktion nie Null wird?Kann mir jemand helfen die Nullstelle von f zu finden? Danke!
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e^x hat keine Nullstelle und dementsprechend hat deine Funktion f auch keine Nullstelle in ihrem Definitionsbereich.
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Das beantwortet aber irgendwie nur einen Teil meiner Fragen.
Du sagst der Zähler hat also keine Nullstelle. Wieso stehen dann in der Wertetabelle lauter Nullstellen? Und wieso hat dann die Funktion f laut Plot doch eine Nullstelle? Ich mein die Funktion berührt doch ganz klar bei x=0.6 die x-Achse?
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Die e funktion wird nie null. Sie kann beliebig nah an 0 herankommen, aber null wird sie nie. Wenn deine Wertetabelle stimmt, dann bedeutet 0,000 eben nicht null, sondern irgendeine zahl zwischen 0 und 0,0005. Beim Plot ist es genauso, sehr kleine Zahlen sehen eben aus wie eine null, aber sie sind nicht unbedingt null.
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Tobi77 schrieb:
Du sagst der Zähler hat also keine Nullstelle. Wieso stehen dann in der Wertetabelle lauter Nullstellen? Und wieso hat dann die Funktion f laut Plot doch eine Nullstelle? Ich mein die Funktion berührt doch ganz klar bei x=0.6 die x-Achse?
Computer und Taschenrechner können dir nicht immer ein genaues Ergebnis liefern. Alleine die Tatsache das e unendlich viele Nachkommastellen hat sorgt schon dafür das man irgendwo runden muss. Der Funktionsplotter den du benutzt rundet die Ergebnisse sogar schon nach 3 Stellen nach dem Komma. Somit ist z.b. schon 10^(-5) = 0. Mit dem Taschenrechner von Windows 7, der sogar 32 Stellen von e hat, bin ich bei x=0.6 und k=0.1 bei 0,003....
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Exponentialfunktionen beschleunigen recht gut.
Nur winzige Fehler von x können bei e^x schon riesige Auswirkungen haben.localhost ~ # calc 'exp(100)-exp(100-1/1000000)' 26881157977580125597565325093339400395.68020594193157579952Und riesige Fehler von x können minimale Auswirkungen haben.
localhost ~ # calc 'exp(-4000000000)-exp(-40)' -0.00000000000000000425Ich würde jetzt nicht darauf wetten, daß -4000000000=-40.
