Lineare Abbildungen und lineare unabhängigkeit
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Hallo,
habe folgende aufgabe: Es seien V, W Vektorräume, T:V->W eine lin. Abb., "n Elemenet N" (nat. Zahlen als index) und {v1, v2, ..., vn} Teilmenge V. Folgende Aussage soll bewiesen oder widgerlegt werden:
T(v1), ..., T(vn) linear abhängig => v1, ..., vn linear abhängig
(und später auch mit linearer unabhängigkeit)
mein ansatz:
a1 T(v1) + ... + an T(vn) = 0 => a1 v1 + ... + an vn = 0
T(a1 v1) + ... + T(an vn) = 0 => a1 v1 + ... + an vn = 0falls es für die linke seite andere lösungen als die triviale lösung gibt (koeffizienten = 0) dann sind die vektoren lin. abhängig. da T eine lin. Abb. ist, müsste auch die Umformung nach zeile 2 möglich sein...
Ab hier komme ich mit dem Beweis nicht weiter...
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das ist einfach, du musst nur ein gegenbeispiel finden um die behauptung zu widerlegen
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Tipp: die Aussage ist falsch da sonst alle lineare Abbildungen injektiv wären (der Kern enthält dann nur den Nullvektor).