Studium: Stammfunktion: (cos x)^4

Original erstellt von Jester:
Ja, das geht.
Cavalieri-Prinzip. Du legst Schnitte durch. Immer wenn Du eine Hyperebene durch eine 4-dim. Kugel legst kriegste ne 3D-Kugel. Das Integral über alle diese ist dann das Volumen der 4-dim. Einheitskugel.

wie ist das integral? integral von -1 bis 1 von (4/3*pi*x³ )dx ?

Jester

nein, Du mußt es so ansetzen, 4d-Koordinaten x,y,z,w

Radius = 1, also;

x^2+y2+z^2+w2 = 1

V = |{(x,y,z,w)€R^4 | x^2+y2+z^2+w2 <= 1}
Das Volumen ist also das gleiche wie

int(w=-1..1) |{x,y,z)€R^3 | x^2+y2+z^2 <= 1-w^2}|

Das innere ist jetzt eine Kugel mit dem Radius sqrt(1-w^2)

Also V = int[w=-1..1](4/3*Pi*sqrt(1-w²⁾3)dw

dann stubsituiren mit w = sin x => dw = dx * cos x
= int[x=-Pi/2..Pi/2](4/3*Pi*cos(x) * sqrt(1-sin(x)²⁾3 dx
= int[x=-Pi/2..Pi/2](4/3*Pi*cos(x) * sqrt(cos(x)²⁾3 dx
= 4/3*Pi* int[x=-Pi/2..Pi/2](cos(x)^4) dx

Ausrechnen wir oben beschrieben => fertig!

MfG Jester

Delirium

Kann mir mal jemand erklären wieso sich das ursprüngliche Problem nicht durch Substitution integrieren lässt?
Ich hätte das so gemacht:
f = (cos(x))^4
F = -1/sin(x) integral -sin(x) * (cos(x))^4
= -1/sin(x) * (cos(x))^5/5
= -(cos(x))^5/5sin(x) + C

könntest Du Deinen Rechenweg (insbes. die Substitution) noch angeben?
Auerdem leite mal Deine Stammfunktion ab (Bitte vergiß die Quotientenregel nicht.

MfG Jester

Delirium

Ich habe versucht aus dem
int [f(x)]^n dx
ein
int f'(x) [f(x)]^n dx
zu machen um dann die allg. Regel
int f'(x)[f(x)]^n dx = [f(x)]^(n+1) / (n + 1) + C
anwenden zu können.

Gary

@Delirium, das funktioniert nicht, weil du im Nenner nicht (n+1), sondern eine funktion stehen hast!!
Wenn du das, was du geschrieben hast

-(cos(x))^5/5sin(x) + C

ableitet, kommt man auf:
(-(cos x)^4 * (sin x) * 5 * (sin x) - cos x * (cos x)^5) / (5 * (sin x)^2)
= -((5*(sin x)^2 + (cos x)^2) * (cos x)^4) / (5 * (sin x)^2)

hoffe, ich hab mich nicht verrechnet.

[ Dieser Beitrag wurde am 29.05.2003 um 22:12 Uhr von Gary editiert. ]

knivil

Man kann glaub ich sogar zeigen, daß das Volumen der Einheitskugel für Dimension n --> unendlich gegen 0 geht.

Das halte ich fuer ein Geruecht. Man kann zeigen, dass das Volumen der n-dimensionalen Kugel unterhalb der Oberflaeche konzentriert ist. Also im Innern nur ein verschwindend geringer Anteil vom Volumen enthalten ist. In Skripten zur Theoretischen Physik (Thermodynamik) sollte das zu finden sein.

rüdiger

@knivil
Der Thread ist von 2003 und wurde nur von einem Spambot hervorgeholt.

C++ Forumbot

Dieser Thread wurde von Moderator/in rüdiger aus dem Forum Rund um die Programmierung in das Forum Mathematik und Physik verschoben.

Im Zweifelsfall bitte auch folgende Hinweise beachten:
C/C++ Forum :: FAQ - Sonstiges :: Wohin mit meiner Frage?

Dieses Posting wurde automatisch erzeugt.

knivil schrieb:

Man kann glaub ich sogar zeigen, daß das Volumen der Einheitskugel für Dimension n --> unendlich gegen 0 geht.

Das halte ich fuer ein Geruecht. Man kann zeigen, dass das Volumen der n-dimensionalen Kugel unterhalb der Oberflaeche konzentriert ist. Also im Innern nur ein verschwindend geringer Anteil vom Volumen enthalten ist. In Skripten zur Theoretischen Physik (Thermodynamik) sollte das zu finden sein.

Für gerade n ist das Volumen
pi^(n/2) / (n/2)! =circa (pi/e)^(n/2) * 2/n und das divergiert für n->unendlich

http://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere

knivil

rüdiger schrieb:

@knivil
Der Thread ist von 2003 und wurde nur von einem Spambot hervorgeholt.

Arg ....

Bashar

Doch, das konvergiert gegen 0. Dein Fehler liegt wahrscheinlich bei dem "circa". Du müsstest schon "größer gleich" zeigen.

SeppJ

Das macht doch aber keinen Sinn, hier von Konvergenz des Volumens gegen 0 zu sprechen. Das was un...endlich zitiert hat ist doch nur der Vorfaktor, es muss ja noch mit R^n multipliziert werden. Und diese Ergebnisse kann man dann nicht mehr vergleichen. Denn was ist mehr: Fünf Inch, tausend Liter oder ein Hektar?

un....endlich schrieb:

pi^(n/2) / (n/2)! =circa (pi/e)^(n/2) * 2/n und das divergiert für n->unendlich

http://en.wikipedia.org/wiki/N-sphere

huch, das sollte natürlich
pi^(n/2) / (n/2)! =circa (pi/(n/2))^(n/2) -> 0
heißen... stirling-formel ist schon kompliziert.

interessant ist aber, dass das volumen des einheitsquaders immer 1 bleibt.

Jester

SeppJ schrieb:

Das macht doch aber keinen Sinn, hier von Konvergenz des Volumens gegen 0 zu sprechen. Das was un...endlich zitiert hat ist doch nur der Vorfaktor, es muss ja noch mit R^n multipliziert werden.

Multiplikation mit R^n? Was soll das sein? Meinst Du sowas wie Volumenformen?

Und diese Ergebnisse kann man dann nicht mehr vergleichen. Denn was ist mehr: Fünf Inch, tausend Liter oder ein Hektar?

Ich sehe Dein Problem überhaupt nicht. Volumen im R^2 heißt Fläche, Volumen im R^3 ist das, was Otto-Normalverbraucher als Volumen bezeichnet und Volumen im R^d ist die konsequente Fortsetzung davon über Volumenformen (http://de.wikipedia.org/wiki/Volumenform). Der Folge der Einheitskugeln wird durch das Messen des Volumens eine Folge von Volumen zugeordnet (die Volumenform ist die Standard-Volumenform des R^n). Inwiefern ist es nun problematisch über die Konvergenz dieser Folge zu sprechen?

Heinzelotto

er meint radius^n, für n=1 wird es z.B. in cm angegeben, für n=2 in cm^2 usw. Da wir hier aber in der Mathematik sind, ist uns sowas egal und uns interessiert nur der Koeffizient vor der Einheit. Und der verschwindet für n -> unendlich

SeppJ

Das ist eben nicht egal, auch in der Mathematik. Du kannst nicht sagen, dass der Inhalt eines Kreises größer ist als der einer Kugel. Wenn du eine Einheitskugel und einen Einheitskreis hast, wieviel Inhalt haben dann beide zusammen? Alleine schon die Frage an sich ist paradox. Würdest du die Werte einfach addieren, weil ja beides bloß Zahlen sind? Und was ist der Sinus des Inhalts der Einheitskugel? Ist doch auch bloß eine Zahl. Und wenn du eine unendlichdimensionale Kugel mit Radius 2 hast (Volumen geht numerisch gegen 0), wieviele Kreise mit Radius 1 kann man dann hineinpacken? Keinen? Man kann zwar vieles rechnen, aber aufpassen was man da tut muss man trotzdem.

SeppJ schrieb:

Das ist eben nicht egal, auch in der Mathematik. Du kannst nicht sagen, dass der Inhalt eines Kreises größer ist als der einer Kugel. Wenn du eine Einheitskugel und einen Einheitskreis hast, wieviel Inhalt haben dann beide zusammen? Alleine schon die Frage an sich ist paradox. Würdest du die Werte einfach addieren, weil ja beides bloß Zahlen sind? Und was ist der Sinus des Inhalts der Einheitskugel? Ist doch auch bloß eine Zahl. Und wenn du eine unendlichdimensionale Kugel mit Radius 2 hast (Volumen geht numerisch gegen 0), wieviele Kreise mit Radius 1 kann man dann hineinpacken? Keinen? Man kann zwar vieles rechnen, aber aufpassen was man da tut muss man trotzdem.

wir betrachten auch nur den anteil einer einheits-hyperkugel an einem einheits-hyperquader. in eine n-dimensionale kugel passt immer eine n-1-dimensionale.

volkard

SeppJ schrieb:

Das ist eben nicht egal, auch in der Mathematik. Du kannst nicht sagen, dass der Inhalt eines Kreises größer ist als der einer Kugel. Wenn du eine Einheitskugel und einen Einheitskreis hast, wieviel Inhalt haben dann beide zusammen? Alleine schon die Frage an sich ist paradox. Würdest du die Werte einfach addieren, weil ja beides bloß Zahlen sind? Und was ist der Sinus des Inhalts der Einheitskugel? Ist doch auch bloß eine Zahl. Und wenn du eine unendlichdimensionale Kugel mit Radius 2 hast (Volumen geht numerisch gegen 0), wieviele Kreise mit Radius 1 kann man dann hineinpacken? Keinen? Man kann zwar vieles rechnen, aber aufpassen was man da tut muss man trotzdem.

Es wird dich erschrecken, aber (1/2)^n konvergiert gegen 0 für n->inf, obwohl Du alle Aussagen über (0.5 Meter)^n verwirfst.

SeppJ

un...endlich schrieb:

[wir betrachten auch nur den anteil einer einheits-hyperkugel an einem einheits-hyperquader. in eine n-dimensionale kugel passt immer eine n-1-dimensionale.

Das ist ok, das ist sogar anschaulich einleuchtend. Aber die ursprüngliche Aussage konnte man so nicht stehen lassen:

Jester schrieb:

Man kann glaub ich sogar zeigen, daß das Volumen der Einheitskugel für Dimension n --> unendlich gegen 0 geht.