Berechnen eines Grenzwertes?
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Hallo,
folgendes Beispiel wo ich einen Grenzwert berechnen soll:
an = $$\sqrt[2]{x²+11n+21}$$$$-\sqrt[2]{n²+6}$$
diesen Ausdruck hab ich dann mit
\frac{\sqrt[2]{x²+11n+21}+\sqrt[2]{n²+6}}{\sqrt[2]{x²+11n+21}+\sqrt[2]{n²+6}}erweitert
oberhalb des Bruchstriches bleibt dann 11n+15 übrig jetzt komme ich nicht mehr weiter, ich hoffe mir kann da jemand weiterhelfen!
mfg
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Ich nehme an, das x^2 ist ein n^2? Zeig doch einfach mal Dein aktuelles Zwischergebnis.
Schätz doch die beiden Wurzeln im Nenner jeweils mit Wurzel n^2 ab, danach geht's dann bequem weiter.
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Oder, wenn dir Abschätzungen unheimlich sind, kannst du auch einfach das n^2 jeweils aus der Wurzel herausziehen. Dann hast du sowas wie n * (sqrt(1+...)+sqrt(1+...)) im Nenner stehen
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Also mein Zwischenergebnis:
\frac{11n+15}{\sqrt[2]{n^2 + 11n + 21}+\sqrt[2]{n^2+6}}dann ziehe ich n^2 herraus
\frac{n*(11+\frac{15}{n})}{n*\sqrt[2]{11n + 21}+n*\sqrt[2]{6}}kürze es:
\frac{11+\frac{15}{n}}{\sqrt[2]{11n + 21}+\sqrt[2]{6}}15/n fällt weg da 0
\frac{11}{\sqrt[2]{11n + 21}+\sqrt[2]{6}}Und jetzt weiß ich nicht mehr weiter, oder hab ich mich schon verrechnet?
mfg
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grenzwert_ schrieb:
Und jetzt weiß ich nicht mehr weiter, oder hab ich mich schon verrechnet?
keien Ahnung, aber die Wurzel aus 11n strebt gegen unendlich, reicht das nicht schon?
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grenzwert_ schrieb:
\frac{11n+15}{\sqrt[2]{n^2 + 11n + 21}+\sqrt[2]{n^2+6}}
Erweitere einfach mit 1/n / 1/n.
Also Zähler und Nenner jeweils durch n teilen, im Nenner muss das dann natürlich in die Wurzeln gezogen werden.
(Ja, bei den weiteren Schritten hattest du dich verrechnet, aber die sind in der Form auch überhaupt nicht nötig, wenn du wie beschrieben erweiterst. Hättest du n richtig ausgeklammert, hätte das natürlich dasselbe ergeben wie die Erweiterung mit 1/n, aber ich finde es so angenehmer.)
Hoffe, ich konnte dir helfen.
Zum Vergleich: Du solltest auf
11 / (sqrt(1) + sqrt(1)) kommen, der Rest geht gegen Null.
lg
Sinthoras
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grenzwert_ schrieb:
\frac{11n+15}{\sqrt[2]{n^2 + 11n + 21}+\sqrt[2]{n^2+6}}
dann ziehe ich n^2 herraus
\frac{n*(11+\frac{15}{n})}{n*\sqrt[2]{11n + 21}+n*\sqrt[2]{6}}hab ich mich schon verrechnet?
Und wie! Das ist ja gruselig
Unter der Wurzel nutzt du bitte das Distributivgesetz und anschliessend ziehst du die Wurzel mit sqrt(a*b)=sqrt(a)*sqrt(b) auseinander.
Was rauskommen muss hat Sinthoras ja schon gesagt.
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Hallo habs jetzt so gemacht hoffe jetzt stimmts:
\frac{n(11+\frac{15}{n})}{\sqrt[2]{n²}*\sqrt{1+\frac{11}{n}+\frac{21}{n²}}+\sqrt[2]{n²}*\sqrt[2]{1+\frac{6}{n²}}}Und dann n² aus den Wurzeln und kürzen und der Rest geht gegen Null ausgenommen sqrt{1}+sqrt{1}!
Hoffe das ich nicht wieder einen kapitalen Rechnenfehler gemacht hab
!
mfg
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Wenn ich mich nicht vertippr habe, kommt 11/2 raus.
http://www.wolframalpha.com/input/?i=sqrt(x^2%2B11*x%2B21)-sqrt(x^2%2B6)
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Sinthoras schrieb:
11 / (sqrt(1) + sqrt(1))
== 11/2.
Hast dich also nicht vertippt.
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ok! also danke für die hilfe!